集合上下限及举例

集合序列的上下极限及举例

一、集合序列上下极限的定义

上极限

集合序列 {An}\{A_n\}{An} 的上极限,记为 lim‾⁡n→∞An\varlimsup_{n \to \infty} A_nlimnAn,定义为:
lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An \varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n nlimAn=k=1n=kAn
从元素的角度来理解,x∈lim‾⁡n→∞Anx \in \varlimsup_{n \to \infty} A_nxlimnAn 当且仅当 xxx 属于无穷多个 AnA_nAn

下极限

集合序列 {An}\{A_n\}{An} 的下极限,记为 lim‾⁡n→∞An\varliminf_{n \to \infty} A_nlimnAn,定义为:
lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An \varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n nlimAn=k=1n=kAn
这意味着 x∈lim‾⁡n→∞Anx \in \varliminf_{n \to \infty} A_nxlimnAn 当且仅当存在某个 kkk,使得对于所有 n≥kn \geq knk,都有 x∈Anx \in A_nxAn

二、举例

例 1

设集合序列 AnA_nAn 的定义为:
An={{0,1},n为奇数{1,2},n为偶数 A_n = \begin{cases} \{0, 1\}, & n 为奇数 \\ \{1, 2\}, & n 为偶数 \end{cases} An={{0,1},{1,2},n为奇数n为偶数

上极限

对于任意的 kkk⋃n=k∞An={0,1,2}\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\}n=kAn={0,1,2}。所以:
lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An={0,1,2} \varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\} nlimAn=k=1n=kAn={0,1,2}
这是因为 000111222 都属于无穷多个 AnA_nAn

下极限

k=1k = 1k=1 时,⋂n=1∞An=∅\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n = \varnothingn=1An=;当 k=2k = 2k=2 时,⋂n=2∞An={1}\bigcap_{n = 2}^{\infty} A_n = \{1\}n=2An={1}。随着 kkk 取更大的值,⋂n=k∞An\bigcap_{n = k}^{\infty} A_nn=kAn 要么是空集,要么是 {1}\{1\}{1}。所以:
lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={1} \varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{1\} nlimAn=k=1n=kAn={1}
因为只有 111 从某个 kkk 之后的所有 AnA_nAn 都包含。

例 2

An=[0,1+1n]A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{n}\right]An=[0,1+n1]n=1,2,⋯n = 1, 2, \cdotsn=1,2,

上极限

对于任意 kkk⋃n=k∞An=[0,1+1k]\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right]n=kAn=[0,1+k1]。所以:
lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An=⋂k=1∞[0,1+1k]=[0,1] \varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right] = [0, 1] nlimAn=k=1n=kAn=k=1[0,1+k1]=[0,1]

下极限

对于任意 kkk⋂n=k∞An=[0,1+1k]\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right]n=kAn=[0,1+k1]。所以:
lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An=⋃k=1∞[0,1+1k]=[0,1] \varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right] = [0, 1] nlimAn=k=1n=kAn=k=1[0,1+k1]=[0,1]
在这个例子中,集合序列的上极限和下极限相等。

例 3

设集合序列 AnA_nAn 的定义为:
An={[0,n],n为奇数[0,1n],n为偶数 A_n = \begin{cases} [0, n], & n 为奇数 \\ \left[0, \frac{1}{n}\right], & n 为偶数 \end{cases} An={[0,n],[0,n1],n为奇数n为偶数

上极限

对于任意 kkk,当 kkk 为奇数时,⋃n=k∞An=[0,+∞)\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = [0, +\infty)n=kAn=[0,+);当 kkk 为偶数时,⋃n=k∞An=[0,1k]∪[k+1,+∞)\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, \frac{1}{k}\right] \cup [k + 1, +\infty)n=kAn=[0,k1][k+1,+)。所以:
lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An=[0,+∞) \varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = [0, +\infty) nlimAn=k=1n=kAn=[0,+)

下极限

kkk 为奇数时,⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}n=kAn={0};当 kkk 为偶数时,⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}n=kAn={0}。所以:
lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={0} \varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\} nlimAn=k=1n=kAn={0}

归一化和数据增强是深度学习模型训练过程中两个重要的预处理步骤,在基于YOLOv5的小目标车辆检测任务中也有重要作用。 ### 归一化的意义及作用 **归一化**是指将输入数据调整到特定范围内的过程,比如0~1之间或均值为0、方差为1的标准正态分布。对于图像数据来说,通常会通过减去像素平均值或将RGB通道的数值除以255等方式实现归一化。 #### 在小目标车辆检测中的作用: - **提高收敛速度**:经过归一化后的特征值更容易让网络权值初始化处于合适的范围内,从而加快梯度下降的速度。 - **减少过拟合风险**:当所有样本都映射到了相似的数据区间内时,可以避免某些极端数值对损失函数造成过大影响,进而降低模型因噪声而产生的偏差。 例如,在使用YOLOv5进行训练前,我们可以采用`torchvision.transforms.Normalize()`方法来进行标准化操作: ```python transform = transforms.Compose([ transforms.ToTensor(), transforms.Normalize(mean=[0.485, 0.456, 0.406], std=[0.229, 0.224, 0.225]) ]) ``` --- ### 数据增强的意义及其作用 **数据增强**是在原有数据集基础上生成更多样本的技术手段,主要包括旋转、翻转、裁剪等几何变换以及亮度调节、对比度变化等功能性修改。这能够显著增加模型见到的不同场景下的实例数量,并提升其泛化能力。 #### 对于小目标车辆检测的具体贡献包括: - 增加了不同类型光照条件下载入图片的可能性; - 模仿出各种视角下拍摄的目标物体姿态; - 改善边界模糊不清或者遮挡严重的情况识别效果; 假设我们希望扩大我们的数据集合大小,则可以在配置文件里添加类似以下设置项: ```yaml mosaic: true # 开启马赛克拼接增广模式,默认False degrees: ±5 # 图像最大倾斜角度(顺时针&逆时针) translate: .2 # 平移比例界限[−ratio,ratio] scale: .3 # 缩放比率上下限 [1 - ratio, 1 + ratio] shear: 10 # 斜切变形程度限制(degrees) perspective: 0.001# 鸟瞰图效应强度因子 flipud: .0 # 上下颠倒概率p=0表示完全禁止此动作 fliplr: .5 # 左右镜面反射几率设为了五成即一半机会发生该现象 ``` --- ### 示例总结两者关联 在一个完整的YOLOv5项目流程当中,先利用数据增强技术扩充原始采集得到的真实世界照片库规模后再实施统一格式规格转换即归一化进程最后送入神经元计算单元组完成最终预测结果输出工作流。
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