集合上下限及举例

集合序列的上下极限及举例

一、集合序列上下极限的定义

上极限

集合序列 {An}\{A_n\}{An​} 的上极限，记为 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n$，定义为：
$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{A}_n=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n$$
从元素的角度来理解，$x\in {\overline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n$ 当且仅当 $x$ 属于无穷多个 $A_n$。

下极限

集合序列 {An}\{A_n\}{An​} 的下极限，记为 ${\underline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n$，定义为：
$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{A}_n=\bigcup _{k=1}^{\infty }\bigcap _{n=k}^{\infty }{A}_n$$
这意味着 $x\in {\underline{\lim }}_{n\to \infty }{A}_n$ 当且仅当存在某个 $k$，使得对于所有 $n\ge k$，都有 $x\in A_n$。

二、举例

例 1

设集合序列 $A_n$ 的定义为：
An={{0,1},n为奇数{1,2},n为偶数 A_n = \begin{cases} \{0, 1\}, & n 为奇数 \\ \{1, 2\}, & n 为偶数 \end{cases} An​={{0,1},{1,2},​n为奇数n为偶数​

上极限

对于任意的 $k$，⋃n=k∞An={0,1,2}\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\}⋃n=k∞​An​={0,1,2}。所以：
lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An={0,1,2} \varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\} n→∞lim​An​=k=1⋂∞​n=k⋃∞​An​={0,1,2}
这是因为 $0$、$1$、$2$ 都属于无穷多个 $A_n$。

下极限

当 $k=1$ 时，${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n=\varnothing$；当 $k=2$ 时，⋂n=2∞An={1}\bigcap_{n = 2}^{\infty} A_n = \{1\}⋂n=2∞​An​={1}。随着 $k$ 取更大的值，${\bigcap }_{n=k}^{\infty }{A}_n$ 要么是空集，要么是 {1}\{1\}{1}。所以：
lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={1} \varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{1\} n→∞lim​​An​=k=1⋃∞​n=k⋂∞​An​={1}
因为只有 $1$ 从某个 $k$ 之后的所有 $A_n$ 都包含。

例 2

设 $A_n=\left[0,1+\frac{1}{n}\right]$，$n=1,2,\cdots$

上极限

对于任意 $k$，${\bigcup }_{n=k}^{\infty }{A}_n=\left[0,1+\frac{1}{k}\right]$。所以：
$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{A}_n=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n=\bigcap _{k=1}^{\infty }\left[0,1+\frac{1}{k}\right]=[0,1]$$

下极限

对于任意 $k$，${\bigcap }_{n=k}^{\infty }{A}_n=\left[0,1+\frac{1}{k}\right]$。所以：
$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{A}_n=\bigcup _{k=1}^{\infty }\bigcap _{n=k}^{\infty }{A}_n=\bigcup _{k=1}^{\infty }\left[0,1+\frac{1}{k}\right]=[0,1]$$
在这个例子中，集合序列的上极限和下极限相等。

例 3

设集合序列 $A_n$ 的定义为：
$$A_n=\{\begin{array}{ll}[0,n],& n为奇数\\ \left[0,\frac{1}{n}\right],& n为偶数\end{array}$$

上极限

对于任意 $k$，当 $k$ 为奇数时，${\bigcup }_{n=k}^{\infty }{A}_n=[0,+\infty )$；当 $k$ 为偶数时，${\bigcup }_{n=k}^{\infty }{A}_n=\left[0,\frac{1}{k}\right]\cup [k+1,+\infty )$。所以：
$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{A}_n=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n=[0,+\infty )$$

下极限

当 $k$ 为奇数时，⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}⋂n=k∞​An​={0}；当 $k$ 为偶数时，⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}⋂n=k∞​An​={0}。所以：
lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={0} \varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\} n→∞lim​​An​=k=1⋃∞​n=k⋂∞​An​={0}