集合序列的上下极限及举例
一、集合序列上下极限的定义
上极限
集合序列 {An}\{A_n\}{An} 的上极限,记为 lim‾n→∞An\varlimsup_{n \to \infty} A_nlimn→∞An,定义为:
lim‾n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An
\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n
n→∞limAn=k=1⋂∞n=k⋃∞An
从元素的角度来理解,x∈lim‾n→∞Anx \in \varlimsup_{n \to \infty} A_nx∈limn→∞An 当且仅当 xxx 属于无穷多个 AnA_nAn。
下极限
集合序列 {An}\{A_n\}{An} 的下极限,记为 lim‾n→∞An\varliminf_{n \to \infty} A_nlimn→∞An,定义为:
lim‾n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An
\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n
n→∞limAn=k=1⋃∞n=k⋂∞An
这意味着 x∈lim‾n→∞Anx \in \varliminf_{n \to \infty} A_nx∈limn→∞An 当且仅当存在某个 kkk,使得对于所有 n≥kn \geq kn≥k,都有 x∈Anx \in A_nx∈An。
二、举例
例 1
设集合序列 AnA_nAn 的定义为:
An={{0,1},n为奇数{1,2},n为偶数
A_n =
\begin{cases}
\{0, 1\}, & n 为奇数 \\
\{1, 2\}, & n 为偶数
\end{cases}
An={{0,1},{1,2},n为奇数n为偶数
上极限
对于任意的 kkk,⋃n=k∞An={0,1,2}\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\}⋃n=k∞An={0,1,2}。所以:
lim‾n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An={0,1,2}
\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\}
n→∞limAn=k=1⋂∞n=k⋃∞An={0,1,2}
这是因为 000、111、222 都属于无穷多个 AnA_nAn。
下极限
当 k=1k = 1k=1 时,⋂n=1∞An=∅\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n = \varnothing⋂n=1∞An=∅;当 k=2k = 2k=2 时,⋂n=2∞An={1}\bigcap_{n = 2}^{\infty} A_n = \{1\}⋂n=2∞An={1}。随着 kkk 取更大的值,⋂n=k∞An\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n⋂n=k∞An 要么是空集,要么是 {1}\{1\}{1}。所以:
lim‾n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={1}
\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{1\}
n→∞limAn=k=1⋃∞n=k⋂∞An={1}
因为只有 111 从某个 kkk 之后的所有 AnA_nAn 都包含。
例 2
设 An=[0,1+1n]A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{n}\right]An=[0,1+n1],n=1,2,⋯n = 1, 2, \cdotsn=1,2,⋯
上极限
对于任意 kkk,⋃n=k∞An=[0,1+1k]\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right]⋃n=k∞An=[0,1+k1]。所以:
lim‾n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An=⋂k=1∞[0,1+1k]=[0,1]
\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right] = [0, 1]
n→∞limAn=k=1⋂∞n=k⋃∞An=k=1⋂∞[0,1+k1]=[0,1]
下极限
对于任意 kkk,⋂n=k∞An=[0,1+1k]\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right]⋂n=k∞An=[0,1+k1]。所以:
lim‾n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An=⋃k=1∞[0,1+1k]=[0,1]
\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right] = [0, 1]
n→∞limAn=k=1⋃∞n=k⋂∞An=k=1⋃∞[0,1+k1]=[0,1]
在这个例子中,集合序列的上极限和下极限相等。
例 3
设集合序列 AnA_nAn 的定义为:
An={[0,n],n为奇数[0,1n],n为偶数
A_n =
\begin{cases}
[0, n], & n 为奇数 \\
\left[0, \frac{1}{n}\right], & n 为偶数
\end{cases}
An={[0,n],[0,n1],n为奇数n为偶数
上极限
对于任意 kkk,当 kkk 为奇数时,⋃n=k∞An=[0,+∞)\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = [0, +\infty)⋃n=k∞An=[0,+∞);当 kkk 为偶数时,⋃n=k∞An=[0,1k]∪[k+1,+∞)\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, \frac{1}{k}\right] \cup [k + 1, +\infty)⋃n=k∞An=[0,k1]∪[k+1,+∞)。所以:
lim‾n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An=[0,+∞)
\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = [0, +\infty)
n→∞limAn=k=1⋂∞n=k⋃∞An=[0,+∞)
下极限
当 kkk 为奇数时,⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}⋂n=k∞An={0};当 kkk 为偶数时,⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}⋂n=k∞An={0}。所以:
lim‾n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={0}
\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}
n→∞limAn=k=1⋃∞n=k⋂∞An={0}