Gamma分布

Gamma 分布的特性

1. 概率密度函数

若随机变量 $X$ 服从参数为 $\alpha >0$（形状参数）和 $\beta >0$（速率参数）的 Gamma 分布，记为 $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$，其概率密度函数为：
$$f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x},x>0$$
其中 $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$ 是 Gamma 函数。当 $\alpha$ 为正整数时，$\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!$

2. 图像特征

形状参数 $\alpha$ 的影响

• 当 $\alpha <1$ 时，概率密度函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处趋近于正无穷，并且随着 $x$ 的增大而单调递减。
• 当 $\alpha =1$ 时，Gamma 分布退化为指数分布，其概率密度函数为 $f(x)=\beta e^{-\beta x},x>0$，呈单调递减的形状。
• 当 $\alpha >1$ 时，概率密度函数先增后减，存在一个众数（即概率密度函数取得最大值的点），众数为 $\frac{\alpha -1}{\beta }$。
  

速率参数 $\beta$ 的影响

$\beta$ 越大，概率密度函数的图像越集中在 $x=0$ 附近；$\beta$ 越小，图像越分散。

3. 数字特征

期望

若 $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$，则 $E(X)=\frac{\alpha }{\beta }$。可以通过对 $x\cdot f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上积分得到，即 $E(X)={\int }_0^{\infty }x\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx$，经过一系列积分运算可得出结果。

方差

$D(X)=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$。方差衡量了随机变量取值的分散程度，通过 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ 计算，其中 $E(X^2)={\int }_0^{\infty }{x}^2\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx$。

4. 特殊情况

指数分布

当 $\alpha =1$ 时，Gamma 分布 $\Gamma (1,\beta )$ 就是参数为 $\beta$ 的指数分布，指数分布常用于描述独立随机事件发生的时间间隔。

卡方分布

当 $\alpha =\frac{n}{2}$，$\beta =\frac{1}{2}$ 时，Gamma 分布 $\Gamma (\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ 就是自由度为 $n$ 的卡方分布 ${\chi }^2(n)$，卡方分布在假设检验、方差分析等统计推断中有着重要应用。

5. 可加性

若 $X_1\sim \Gamma ({\alpha }_1,\beta )$，$X_2\sim \Gamma ({\alpha }_2,\beta )$，且 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立，则 $X_1+X_2\sim \Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\beta )$。一般地，若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，且 $X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\beta )$，$i=1,2,\cdots ,n$，则 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma ({\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i,\beta )$。

6. 矩生成函数

随机变量 $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$ 的矩生成函数为 $M_X(t)=(1-\frac{t}{\beta }{)}^{-\alpha }$，其中 $t<\beta$。矩生成函数可以用来方便地计算随机变量的各阶矩，通过对矩生成函数求导并在 $t=0$ 处取值，即可得到相应阶数的矩。例如，一阶导数 $M_X^{\prime }(t)$ 在 $t=0$ 处的值就是期望 $E(X)$。

7. 与其他分布的关系

与泊松分布的关系

Gamma 分布与泊松过程紧密相关。在泊松过程中，第 $n$ 个事件发生的时间 $T_n$ 服从参数为 $\alpha =n$ 和 $\beta =\lambda$ 的 Gamma 分布，其中 $\lambda$ 是泊松过程的速率。

与贝塔分布的关系

如果 $X\sim \Gamma ({\alpha }_1,\beta )$，$Y\sim \Gamma ({\alpha }_2,\beta )$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，那么 $\frac{X}{X+Y}$ 服从参数为 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 的贝塔分布 $B({\alpha }_1,{\alpha }_2)$。