sigma-代数及其性质

$\sigma$-代数及其性质

一、$\sigma$-代数的定义

设 $\Omega$ 是一个非空集合，$\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的一些子集构成的集合族。如果 $\mathcal{F}$ 满足以下三个条件，则称 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$-代数：

1. 非空性：$\Omega \in \mathcal{F}$。这意味着整个样本空间 $\Omega$ 是 $\mathcal{F}$ 中的一个元素。
2. 补集封闭性：若 $A\in \mathcal{F}$，则 $A^c=\Omega -A\in \mathcal{F}$。也就是说，如果一个集合 $A$ 属于 $\mathcal{F}$，那么它在 $\Omega$ 中的补集也属于 $\mathcal{F}$。
3. 可数并封闭性：若 $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{F}$，则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{F}$。即 $\mathcal{F}$ 中任意可数个集合的并集仍然属于 $\mathcal{F}$。

我们通常将 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 称为可测空间，其中 $\Omega$ 是样本空间，$\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的 $\sigma$-代数。

二、$\sigma$-代数的简单例子

1. 平凡 $\sigma$-代数

设 $\Omega$ 是一个非空集合，F={ ∅,Ω}\mathcal{F}=\{\varnothing,\Omega\}