σ 代数与测度（measures）

1. definition

• Let $\mathcal A$ be a collection of subsets（集合的集合体，collection of subsets） of a sample space $\Omega$，$\mathcal A$ is called $\sigma$-field (or $\sigma$-algebra)， ifff
  
  • $\phi \in \mathcal A$
  • if $A\in \mathcal A$ ⇒ $A^c\in \mathcal A$
    
    • $\phi^c=\Omega \in \mathcal A$
  • if $A_i \in \mathcal A$, then $\cup_{i}A_i\in \mathcal A$
    
    • 又由德摩根定律可知，$\cap_i A_i\in \mathcal A$

存在 $\Omega$ 样本空间上的一个 $\sigma$ 代数，便构成这样的 pair，$(\Omega, \mathcal A)$ 称为可测度空间。

$\mathcal A$ 是集合的集合体，所以其内部的元素就是集合，称其为可测集。

由以上可知，

• 最小的 σ 域为 $\{\phi, \Omega\}$
• 最大的 σ 域为 $\Omega$ 的幂集合（power set）

2. 概率测度

• $\{\Omega, \mathcal A\}$：可测度空间；
• $\{\Omega, \mathcal A, \nu\}$：测度空间；
  
  • $0\leq \nu (A)\leq \infty$（这里是可以取到 $\infty$，如果取不到 $\infty$，总可以求和得到 1，就弱化为 belief）
  • $\nu(\phi)=0$
  • 可加性；
• $\{\Omega, \mathcal A, \nu\}$ & $\nu (\Omega)=1$：概率测度空间，且通常将 $\nu$ 记为 $P$，也即 $\{\Omega, \mathcal A, P\}$ 称为概率空间；