【机器学习中的数学】从西格玛代数、测度空间到随机变量

本文深入探讨了机器学习中的数学基础,从σ代数的概念出发,介绍了可测空间和测度空间,特别是勒贝格测度在实分析中的应用。进一步讨论了概率空间和随机变量,阐述了如何将这些理论应用于概率论和统计学习中,通过Bernoulli分布的例子展示了随机变量和概率分布的关系。

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σ代数

令X是一个样本空间(sample space)Ω 的所有子集(subsets)的集合的一个子集,那么集合X被称为σ代数(σ-algebra)又叫σ域(σ-field)。
它有以下几个性质:

(1)Φ∈X;(Φ为空集)
(2)若A∈X,则A的补集A^c∈X;
(3)若Ai∈X(i=1,2,…)则∪Ai∈X;

可测空间

Ω是任意集合,而X是把Ω中的极端情况去掉后又Ω的子集组成的集合,这样剩下的就是可以处理的集合,所以(Ω,X)称为可测空间(a measurable set)。X满足σ代数的三个性质,我们可以对X中的元素定义测度,故X的元素称为可测集(measurable set)。

测度空间

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