【12年特长生模拟第二题】【DP】K上升段

最新推荐文章于 2021-04-03 16:24:07 发布

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本文探讨了如何计算特定长度的排列中，含有指定数量上升段的序列个数。通过动态规划方法，定义状态转移方程，实现了高效计算。

$K 上升段$

题目

对于自然数1…n的一个排列A[1…N] 可以划分为若干个单调递增序列。每个单调递增序列由连续元素A[st…ed]组成，且满足以下条件：
$1 < = s t, e d < = n;$
$A [i] < A [i + 1] (s t < = i < = e d - 1)$
$e d = n 或者 A [e d] > A [e d + 1]$
例如：排列1 2 4 5 6 3 9 10 7 8 可划分为3个单调递增序列 1 2 3 4 5 6；3 9 10 ；7 8 ；所以我们称这是一个 3上升段序列。
现在给定n和k , 求出n的全排列中的，k上升段序列的个数。

输入

输入仅有1行，包含两个数n, k（1 < n < 20, 1 < k < n）。

输出

输出n的所有k上升段的个数。

输入样例

K.IN
3 2

输出样例

K.OUT
4

说明

( 说明，符合条件的排列是１３２，３１２，２１３，２３１)

解题思路

这题我们用 $D P$ 来做
设 $f [i, j]$ 为从 $1 i$ 分 $j$ 段符合的排序的个数
$F [i] [j] = (i - j + 1) * f [i - 1] [j - 1] + j * f [i - 1] [j]; (i < = n, j < n)$

其中i表示i的全排列，j表示划分的段数

程序如下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream> 
#include<algorithm>

using namespace std;

int n,k;

long long f[2001][2001];

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	for(int j = 1; j <= k; ++j)
	if(i == j) f[i][j] = 1;
	else f[i][j] = j * f[i - 1][j] + (i - j + 1) * f[i - 1][j - 1];
	printf("%lld", f[n][k]);
	return 0;
}