二分图总结

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原创最新推荐文章于 2026-03-16 00:08:12 发布 670 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

算法讲解：二分图匹配 二分图匹配，自然要先从定义入手，那么二分图是什么呢？ 二分图： 二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二阅读详情

二分图是什么?

二分图 是指将所有点分成两个集合, 使得所有边只出现在集合之间, 那就是二分图

二分图的性质:

二分图一定能进行无矛盾的染色
二分图一定不含有奇数环
二分图不一定是连通图

二分图的判定问题, 一般常用的方法是染色法判定二分图, 相邻的两个点用不同的颜色染色, 只要某个点染色不成功就说明整个图不是二分图, 染色不成功等价于相邻的点染了相同的颜色

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 3e5 + 10;

int e[N], ne[N], h[N], idx, color[N], n, m;

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;  //染色
    
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(!color[j])  //未被染色
        {
            if(!dfs(j, 3 - c)) return false;  //染色失败
        }
        else if(color[j] == c) return false; //染色失败
    }
    return true; //染色成功
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    memset(h, -1, sizeof h);  //初始化头结点
    
    for(int i = 1; i <= m; i ++ )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);  //建图
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )  //给每一个点染色
    if(!color[i])
    {
        if(!dfs(i, 1))
        {
            cout << "No\n";
            return 0;
        }
    }
    cout << "Yes\n";
}

二分图的最大匹配

一些必要的概念

匹配：在图论中，一个「匹配」是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路。

然后匈牙利算法的证明可以看这个博主, 讲的非常生动形象

证明

总结一下: 首先每个左节点预定右节点, 看右节点是否已经匹配, 如果已经匹配了,看他匹配的对象能不能匹配别人

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int e[N], ne[N], h[N], idx, match[N], n1, n2, m;
bool st[N];


void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool find(int x)
{
    for(int i = h[x]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(!st[j])
        {
            st[j] = true;  //预定
            if(!match[j] || find(match[j])) // 1.是否已经匹配 2.看能不能再匹配别人
            {
                match[j] = x;  //匹配成功
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}


int main()
{
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    
    memset(h, -1, sizeof h); //初始化头节点
    
    for(int i = 1; i <= m; i ++ )   //建图
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    
    int res = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n1; i ++ )   //每一组匹配
    {
        memset(st, false, sizeof st);  //因为每轮预定情况不同,所以需要初始化
        if(find(i)) res ++;
    }
    
    cout << res << '\n';
}