背包

背包

背包是线性DP中特殊的模型，我们把他单独拿出来进行学习

01背包

有n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为c[i]。现有一个容量为V的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。其中
每种物品都只有一件
根据我们所学的线性DP的知识，我们很容易想到依次考虑每一个物品是否放入背包，同已经“处理的物品的数量”，作为DP的阶段，用“背包中已经放入的物品总体积”作为维度，f[i][j]表示从i的物品放入体积为j的物品，物品的最大价值和
f[i][j]=max(f[i-1][j]不选第i物品，f[i-1][j-v[i]]+wi选)
---------------重新------------

学习背包之前，也就是学习动态太规划之前，我们要 明白一个道理，要使得价值最大的话，为什么不能用贪心来搞
我们知道，贪心和dp是两个完全不同的东西，这两个可以说是对立的 ，因为背包这种题，在价值的基础上还有空间的限制，所以我们需要两个都考虑
至于背包，还有一个非常吓人的东西，他需要从后往前进行更新
1.正序为啥不行：dp[4]=dp[3]+v[2]
dp[5]=dp[4]+v[2]
将dp[4]带入dp[5]可以得到dp[5]=dp[3]+2*v[2]
即会使用到2个2号物品，不满足0-1背包的要求
即每个物品只使用一次，所以这样会重复使用，就跟递推一样，一个覆盖一个，所以会重复
这就是背包的精髓
2.倒叙为什么可以：
因为我们使用的都是破旧的，比如说我们更新f[5]时需要用到f[4]这个时候f[4]还没有更新，然后到了f[4]需要使用的时f[3]所以这样一步步，不会考虑到覆盖现象
所以这个题有点类似于在沙滩上倒着行走，不会看到脚印，不会才到原来的脚印，因为f[i]只会与之前的f[i~1]有关系

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=0;j<=m;j++)
	{
		f[i][j]=f[i-1][j];
	}
	for(int j=v[i];j<=m;j++)
	{
		f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
	}
}

听过DP的方程我们可以发现，每一个状态都和之前的状态有关系，我们在这种情况需要使用滚动数组进行优化
然后我们看看数组，就会明白，实际上我们只会运用到一维数组，所以我们直接可以省略一维
还需要注意，我们在放背包的时候使用了倒序循环，这是重点，因为我们在放背包的时候，从后往前会满足DP守则，满足01背包的原则，不会重复放，每个物品只会放一次

滚动数组

是用来优化动态规划算法，简单的进行理解就是让数组进行滚动，固定几个存储空间，来达到压缩，节省空间的作用，主要应用在线性DP中比如背包，我们常常需要得到一个连续的解，所以我们没有必要非得求出来前面的，比如01背包

int f[2][size+1]
memsmet(f,-inf,sizeof(f));
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=0;j<=m;j++)
		f[i&1][j]=f[(i-1)&1][j];
	
	for(int j=v[i];j<=m;j++)
	{
		f[i&1][j]=max(f[i&1][j],f[(i-1)&1][j-v[i]]+w[i]);
	}
}

i&1只会有两种情况，0或者1，也就是动态规划的状态只会再dp[0][]和dp[1][]交替，以至于省下很多空间

完全背包

n个重量和价值分别为Wi，Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量刚好为 W 的
物品，求所有方案中价值总和的最大值
类如：
n=3 w=4
Wi=1 Vi=2
Wi=2 Vi=5
Wi=2 Vi=1
像这种方案最大的价值就是6，方案是第二件加第三件物品，但是明明第一件加第二件为7不大于6吗？因为第一件加第二件不恰好装满
对于完全背包主要在于dp数组的初始化
恰好装满背包的时候：需要进行初始化，f[0]=0其他的f全部初始化为负无穷大
不需要恰好装满背包的时候：初始化全部为0
f[i,j]=max(f[i-1,j]，f[i,j-vi]+wi)
方程的意义就是选或者不选第i种物品
对于背包的正序倒序循环，会和背包的数量有关系，01背包因为最多有一件所以必须倒序循环，但是完全背包有无数，需要正序循环

int f[size+1];
memset(f,-inf,sizeof(f));
f[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=v[i];j<=m;j++)
		f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
int ans=0;
for(int j=0;j<=m;j++)
	ans=max(ans,f[j]);

多重背包

给定N种物品，其中第i种物品的体积为Vi，价值Wi，并且有Ci个，有一个容积为M的背包，要求选择若干个物品放入背包，是的物品总体积不超过M的前提，价值最大
和完全背包的不同就是个数限制
求解多重背包直接方法就是把第i个物品看作是Ci独立的物品，然后转化为01背包进行计算，也就是说Ci*Ci次运算，但是这种方法的效率过低

unsigned int f[size+1];
memset(f,-inf,sizeof(f));
f[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=1;j<=c[i];j++)//控制个数
	{
		for(int k=m;k>=v[i];k--)
		{
			f[k]=max(f[k],f[k-v[i]]+w[i]);
		}
	}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++)
{
	ans=max(ans,f[i]);//统计答案
}

分组背包

分组背包，就是将物品分组，每组的物品相互冲突，最多只能选一个物品放
进去
这类题就是从所有物品变成了当前组于是就是好几组01背包
因为最多选一件所以i我们自然而然就能利用阶段，设f[i,j]表示从i组选出总体积为j的物品放入，物品最大价值的和
注意搞清楚组号，容量，已经方程

for(int k=1;k<=tt;k++)//枚举每一个组
{
	for(int i=m;i>=0;i--)
	{
		for(int j=1;j<=cnt[k];j++)
			if(i>=w[t[k][j]])//表示t[k][j]表示第k组第j号物品
			{
				f[i]=max(f[i],f[i-w[t[k][j]]]+c[t[k][j]]);
			}
	}
}

依赖背包

这种背包问题，其实就是选第i件物品，就必须要第j件物品，并且保证不会 循环引用 ，这就是有点像多叉树的形式，所以将不依赖别的物品叫做主件 （也就是i物品），将依赖主件物品的叫做附件（也就是j物品）
对于包含主件和附件集合有如下可能，选择主件再选择一个附件，选择主件后选择两个附件…需要将以上可能的容量和价值转换成一件件物品，因为只选一种，所以可以看成分组背包
如果变成多叉树的集合，要先算算子节点集合，最后算父节点集合，也就是往上递归