树上最长链

最新推荐文章于 2022-03-31 01:36:25 发布
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分类专栏： 动态规划
复制代码可以，但一定要独立思考啊啊啊啊啊啊啊！！！！
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CCCCDEV_CCCC/article/details/119381664
给定一棵带权重的树，本文介绍了如何以O(n)的时间复杂度计算树上的最长链。通过定义f[i]表示以i为根的子树最长链，并结合g[i]表示从i节点向下最远能走多少距离，来求解最长链问题。

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树上最长链

给定一棵树，每条边有权值，计算一条最长链，时间复杂度为O(n)
设f[i]表示以i为根的子树的最长链，显然f[i]=max(f[i],f[j])其中j是i的子节点，但是这样就值考虑了不经过i的路径，也就是不包括i
要想考虑经过i的路径，就需要选择两个子节点（随便在图上画画就能知道）
把两个子节点往下走的最长路相加，再加它们到i的路径和，去更新f[i]
定义g[i]表示i往下走最远能走多少
g[i]=max(g[i],g[j]+w[i][j])其中j是i的子节点
叶子节点f=g=0

void dfs(int u)
{
   
	f[u]=g[u]=0
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【图论进阶】树的最长链（树型动态规划）
xuyixin2022的博客
01-14 495
这是一道树形动态规划题，d[i][1]表示以i为起点的最大值，d[i][0]表示次大值，因为可以走两边，所以要两个值；d[i][1]=max(d[i][1] ，子节点的最大值+子节点到i的距离)，递归每一层子节点，找出最大的(d[i][1]+d[i][0])。乌托邦有n个城市，某些城市之间有公路连接。表示城市a和城市b之间有公路直接连接，并且公路的长度是c(c
树的最长链
weixin_30407613的博客
01-21 433
最长链，就是最长的一条路径 1 / \ \ 2 3 4 / \ \ 5 6 7 ==\ ...
树上最长链 （树形dp 或 两次dfs ）
qhq889的博客
05-30 1188
带权树上最长链 （可能负权 ） 最长链：（树上直径，树上两点距离最大值，树上距离最远的两点 ）。 最长链 = 以某一结点为端点的最长链+次长链。 mx1: 以 i 节点为根的子树中，i 节点到叶子节点的最长距离（不含 i 节点）即最长链 mx2: 以 i 节点为根的子树中，i 节点到叶子节点的次长距离（不含 i 节点）即次长链 #define first f #define second s #define ll long long #define pb push_back #define pii pair
[技巧]求树上最长链(原题TYVJ)[二星~]
Loi_Seavot的博客
10-25 2214
原题目是TYVJ的，但是现在tyvj评测机莫名鬼畜，于是我就把数据弄了下来，并且附上评测工具~ 题目及数据地址——————–>百度网盘 评测工具（柠檬Lemon）——–>同样是百度网盘呢 先说一下Lemon的配置吧，选择本地的g++路径之后，创建本地的一个测试文件夹，其他的就和cena差不多啦~，lemon没有cena的一些bug，比cena好用呢~ 不过lemon默认逐字比较，需要手动设置
20191028 专题：基环树最长链
hongkongreporter
10-28 374
先上模板题 （黑的？？？） 自己 做的第一道 黑题，先祭一波~~~ 做了3h …毕竟我还是太弱了。 T1 P4381 [IOI2008]Island （洛谷P4381） 题目描述 你准备浏览一个公园，该公园由 NN 个岛屿组成，当地管理部门从每个岛屿 ii 出发向另外一个岛屿建了一座长度为LiL_iLi​的桥，不过桥是可以双向行走的。同时，每对岛屿之间都有一艘专用的往来两岛之间的渡船。相对于乘船而...
树形dp（二叉苹果树，选课，最长链，战略游戏）
avenLJY的博客
05-18 382
树形dp 【例1】二叉苹果树 题意：有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）。这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1–N,树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。 step1:把边权转为点权，记在儿子处 step...
由POJ-1383简析《树的最长链》两次DFS/BFS算法的证明
Macuilxochitl
02-13 2245
无意中看到一道水题，也就是POJ 1383 题目中给出了一个无环的迷宫，求出其中最长的一条路 我们知道无环图本质上可以认为就是树，所以此题完全可以使用树的最长链算法   即：随便从某个节点C开始DFS或BFS找到最远的一个点A，再从点A开始DFS或BFS找到最远的一点B，那么路径A->B必然是树上的最长路径。 这个算法很多人都知道并且当做结论使用，但很少看到有人给出正确性证明 所以
树的最长路径【树形DP】
lppppppppps的博客
03-31 931
Date：2022.03.29 题意描述： 给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。 现在请你找到树中的一条最长路径。 换句话说，要找到一条路径，使得使得路径两端的点的距离最远。 注意：路径中可以只包含一个点。 输入格式 第一行包含整数 n。 接下来 n−1 行，每行包含三个整数 ai,bi,ci，表示点 ai 和 bi 之间存在一条权值为 ci 的边。 输出格式 输出一个整数，表示树的最长路径的长度。 数据范围 1≤n≤10000, 1≤ai,bi≤n, −
bzoj1912 [Apio2010]patrol 巡逻（dp求树上最长链）
Icefox的博客
03-05 528
显然答案一开始是n-1<<1，每条边都要走两遍。 如果K=1，可以新建一条道路，那么应该把树上最长链的两端连起来，这样就不用走两遍树上最长链了，而是只需要走一遍，(通过新边直接过去，不需要再返回了)。因此答案就是减去树上最长链+1。 如果K=2，还可以再新建一条，那么我们发现如果这次选择的链和上次选择的最长链有交集，则这一部分的边还是要走两遍，因此我们把最长链上的边权均变为-1，再求树上最长链，
BZOJ 2657 （ZJOI 2012 旅游） 求树上最长链（树的直径） MAP建树+BFS/DFS
Sky
08-29 1190
这道题是挺简单，求树上一条最长的路径（后来才知道这叫树的直径），而麻烦的是如何建树，这是这道题略恶心的地方。 数据的给出方式是每个节点给3个值（1~n），如果两个节点间有两个值相同，那么这两个点就是有一条边相连。题目中的描述什么凸多边形，三角形的顶点什么的一开始看确实被吓到了，其实就是两个三角形如果有公共边，那么这三角形代表的节点之间就有一条边，三角形的三个顶点就是前面所说的三个值。又因
树的最长路径
qq_45832461的博客
03-21 4531
树的最长路径 题目描述 样例解释 前置知识 树的直径，又称树的最长链，定义为一棵树上最远的两个节点的路径，即树上一条不重复经过某一条边的最长的路径。树的直径也可以代指这条路径的长度。 求树的直径有两种比较常用的方法：树形DP和搜索。 如何找树的直径呢？ 任取一点作为起点，找到距离该点最远的一个点u。 这一步可以用DFS或者BFS来解决。 再找到距离点u最远的一个点v。这一步可以用DFS或者BFS来解决。 那么点u到点v之间的路径就是一条直径了。 如何证明点u到点v之间的路径就是一条直径了呢？ 要
POJ 1985 树的直径（最长链）
java开发指南博客 【转载】
08-15 405
题目大意就是求一棵树上距离最远的两个顶点的距离 说是一棵树是因为之前1984题面上说过 然后据说2631跟此题一样 可以随便选择一个点开始进行bfs或者dfs，从而找到离该点最远的那个点（可以证明，离树上任意一点最远的点一定是树的某条直径的两端点之一；树的直径：树上的最长简单路径）。再从找到的点出发，找到据该点的最远点，那么这两点就确定了树的一条直径，两点间距即为所求距离。 这个用反证法可...
[BZOJ1912][Apio2010]patrol 巡逻（树上最长链）
ADP+Pi==ATP
08-20 749
zyf2000说如果我搭博客她就把草稿箱里的题解发出来嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿嘿
[hihocoder 1050]求树的最长链
weixin_30767921的博客
10-14 173
题目链接：http://hihocoder.com/problemset/problem/1050 两种方法： 1.两遍dfs，第一次随便找一个根，找到距离这个根最远的点，这个点必然是最长链的一端。第二次就用这个端点做一遍dfs，最远的点就是另一端。 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const in...
【bzoj1912】[Apio2010]patrol 巡逻（树上最长链）
薇小薇
09-14 388
有些东西并不是越浓越好，要恰到好处。深深的话我们浅浅地说，长长的路我们慢慢地走。——毕淑敏
hdu 4460 Friend Chains
libing923的专栏
11-08 697
Friend Chains Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 96    Accepted Submission(s): 41 Problem Description For a group of peo
Codeforces 455C —— Civilization（并查集，树上最长链）
hongrock的专栏
08-09 886
题目：C. Civilization Codeforces
长链剖分优化树形DP
最新发布
02-25
<think>嗯，用户现在问的是关于长链剖分优化树形DP的问题。之前他们问过代码是否能通过样例，现在转向具体的算法优化方法。我需要先回忆一下长链剖分的基本概念和应用场景。 长链剖分主要用于优化树上的动态规划问题，特别是涉及到节点深度的操作，比如查询k级祖先或者子树中与深度相关的统计。用户可能是在解决这类题目时遇到了性能问题，需要优化时间复杂度。 用户之前的对话中提到了代码在处理深度时可能存在根节点定义的问题，这可能影响了样例的正确性。现在他们想深入了解长链剖分如何优化树形DP，可能需要理论上的解释和实现细节。 我应该从长链剖分的定义开始，解释它与重链剖分的不同之处，比如按子树最大深度划分链，而不是子树大小。然后说明长链剖分如何优化DP，比如利用指针偏移技术，减少内存分配和复制，从而将复杂度从O(n^2)降到O(n)。 接着，需要举一个具体的例子，比如树上每个节点的子树中某个深度相关的统计问题，用传统方法和长链剖分优化的方法对比。然后给出代码框架，展示如何实现，比如预处理重儿子，DFS过程中处理轻链和重链的合并。 用户可能还想知道适用的场景和注意事项，比如问题是否与深度相关，内存管理的技巧等。最后总结长链剖分的优势和局限性，确保用户能够正确应用。 需要确保解释清晰，步骤详细，避免使用过于专业的术语，但又要准确。可能用户有竞赛编程的背景，所以代码示例部分应该简洁明了，突出关键部分，比如指针传递和数组合并的操作。</think>长链剖分是优化树形动态规划（DP）的重要技术，尤其擅长处理**与深度相关**的树形结构问题（如子树深度统计、k级祖先查询等）。其核心思想是通过**链式结构复用计算结果**，将复杂度从 *O(n^2)* 优化至 *O(n)*。 --- ### **一、长链剖分核心逻辑** #### **1. 链划分规则** - **长链定义**：每个节点选择**子树深度最大**的子节点作为“重儿子”（类比重链剖分选择子树大小最大的子节点）。 - **链结构**：由重儿子连接形成的链称为**长链**，其他子节点作为链的起点形成新链。 #### **2. 优化原理** - **指针偏移复用内存**：在DFS过程中，优先处理重儿子所在的链，通过**直接传递指针**复用其内存空间，避免重复计算。 - **轻链合并复杂度分摊**：轻链数据通过内存拷贝合并到父链，由于每条轻链长度唯一且较短，总时间复杂度保持线性。 --- ### **二、典型应用场景** #### **1. 子树深度统计** **问题**：统计每个节点子树中所有节点到它的最大距离（即子树高度）。 **传统DP**：每个节点遍历子树，时间复杂度 *O(n^2)*。 **长链优化**：利用长链传递高度信息，合并轻链时直接取最大值，复杂度 *O(n)*。 #### **2. k级祖先查询** **问题**：快速查询树上任意节点的第k级祖先。 **传统方法**：倍增法 *O(n log n)* 预处理，*O(log k)* 查询。 **长链优化**：长链剖分预处理每个链顶的祖先跳跃表，结合二进制拆分，*O(n)* 预处理，*O(1)* 查询。 --- ### **三、优化实现步骤（以子树最大深度为例）** #### **1. 预处理长链结构** ```cpp vector<int> depth(n), max_depth(n); // depth[u]: 节点u的深度 vector<int> heavy_son(n, -1); // heavy_son[u]: 节点u的重儿子 // 第一次DFS：计算每个节点的重儿子 void dfs1(int u, int fa) { max_depth[u] = depth[u] = depth[fa] + 1; for (int v : tree[u]) { if (v == fa) continue; dfs1(v, u); if (max_depth[v] > max_depth[u]) { max_depth[u] = max_depth[v]; heavy_son[u] = v; } } } ``` #### **2. DP过程复用内存** ```cpp // dp[u][i]: 节点u子树中深度为depth[u]+i的节点数 vector<int> dp[MAX_N]; // 动态数组内存池 // 第二次DFS：利用长链传递指针 void dfs2(int u, int fa) { if (heavy_son[u] != -1) { dfs2(heavy_son[u], u); // 优先处理重儿子 dp[u] = dp[heavy_son[u]]; // 直接复用重儿子的内存 dp[u].push_back(1); // 当前节点自身贡献 } else { dp[u].push_back(1); // 叶子节点初始化 } // 合并轻链数据 for (int v : tree[u]) { if (v == fa || v == heavy_son[u]) continue; dfs2(v, u); for (int i = 0; i < dp[v].size(); ++i) { if (i+1 < dp[u].size()) { dp[u][i+1] += dp[v][i]; // 偏移合并轻链数据 } else { dp[u].push_back(dp[v][i]); } } } } ``` --- ### **四、复杂度分析** - **时间**：每个轻链数据最多被拷贝一次，总拷贝次数为 *O(n)*。 - **空间**：通过指针复用，总内存占用为 *O(n)*（所有链的长度之和为n）。 --- ### **五、适用问题特征** 1. **子树统计与深度强相关**（如子树高度、某深度的节点数）。 2. **查询路径与链结构相关**（如k级祖先、路径统计）。 3. **需线性复杂度优化**的树形DP问题。 --- ### **六、对比其他优化方法** | 方法 | 优势 | 局限性 | |--------------|-----------------------------|-------------------------| | **长链剖分** | 严格线性复杂度，内存复用高效 | 仅适用于深度相关问题 | | **重链剖分** | 通用性强，适合路径查询问题 | 复杂度常带log因子 | | **DFS序+线段树** | 灵活支持区间操作 | 复杂度 *O(n log n)* | 通过长链剖分，可以将特定树形DP问题的复杂度优化到理论下限，是算法竞赛中树形问题的核心优化手段之一。
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