【BZOJ4145】The Prices

【题意】

你要购买$m$种物品各一件，一共有$n$家商店，你到第i家商店的路费为$d[i]$，在第$i$家商店购买第$j$种物品的费用为$c[i][j]$，求最小总费用。

【题解】

很容易想到状态转移方程。设$f[i][S]$为去了前$i$家商店，已购买物品的集合为S，则：
f [ i ] [ S ] = m i n { f [ i − 1 ] [ S ] , f [ i − 1 ] [ S ′ ] ∣ S ′  S } f[i][S]=min\{f[i-1][S], f[i-1][S']|S' \varsubsetneqq S \} f[i][S]=min{f[i−1][S],f[i−1][S′]∣S′S}
枚举子集的复杂度为$O(3^m)$，故总的复杂度为$O(n{3}^m)$。目测会T。
如果我们把每一个商店看成一个物品，它卖的东西看成这个物品被使用的状态。若把这个状态看成一个二进制位，则每一位若为$1$则有一个权值（相应商品的价格），那么抛开路费，在一家商店里的转移就类似于完全背包。
实现时，我们可以将上一行的状态搬下来并加上$d[i]$，然后进行同层的完全背包转移，再与不购买物品的选择作比较取最小值。
此题中，单层完全背包的时间复杂度为$O(nm)$，故总时间复杂度为$O(nm{2}^m)$。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mm = 17, mn = 105;
int f[mn][1 << mm], d[mn];
int c[mn][mm];
int main()
{
    int n, m, i, j, k;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &d[i]);
        for(j = 0; j < m; j++)
            scanf("%d", &c[i][j]);
    }
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    int lim = 1 << m;
    f[0][0] = 0;
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(j = 0; j < lim; j++)
            f[i][j] = f[i - 1][j] + d[i];
        for(k = 0; k < m; k++)//枚举物品
            for(j = 1; j < lim; j++)
                if(j & (1 << k))
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j ^ (1 << k)] + c[i][k]);
        for(j = 0; j < lim; j++)
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j]);
    }
    printf("%d\n", f[n][lim - 1]);
}