【学习笔记】动态DP

引子

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如果把修改扔开，这就是一道十分经典的树形DP入门题。
然而加上修改，这道题瞬间毒瘤了起来。
先把转移方程摆在下面：
$$\begin{gathered} f[i][0]=\sum _{j\in son}max(f[j][0],f[j][1]) \\ f[i][1]=\sum _{j\in son}f[j][0]+w[i] \end{gathered}$$
我们首先考虑处理一种特殊的情况——树形成了一条链。这样一来，这个转移式就可以化简：
$$\begin{gathered} f[i][0]=max(f[j][0],f[j][1]) \\ f[i][1]=f[j][0]+w[i] \end{gathered}$$
这样一来，我们尝试用一个矩阵运算来转移：
$$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ w[i]& -\infty \end{array}\right)op\left(\begin{array}{c}f[j][0]\\ f[j][1]\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f[i][0]\\ f[i][1]\end{array}\right)$$
其中，$AopB=C$定义为：
C i , j = max ⁡ { A i , k + B k , j ∣ k ∈ [ 1 , n ] } C_{i,j}=\max\{ A_{i,k}+B_{k,j}| k \in [1,n]\} Ci,j​=max{Ai,k​+Bk,j​∣k∈[1,n]}
那么，对于一个修改操作，就可以直接更新这个矩阵，用线段树维护区间$op$，这样就解决了这个问题。

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现在考虑一般的树。对于一个节点$i$，我们暂时先考虑其中的一个儿子$j$，那么就能得到：
$$\left(\begin{array}{cc}{f}^{\prime }[i][0]& f^{\prime }[i][0]\\ f^{\prime }[i][1]& -\infty \end{array}\right)op\left(\begin{array}{c}f[j][0]\\ f[j][1]\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f[i][0]\\ f[i][1]\end{array}\right)$$
$f^{\prime }$表示考虑除$j$外的儿子的答案。
在这里，$j$的地位如此特殊，便不难想到对这棵树做树链剖分，$j$就是$i$的重儿子。那么对于重链上的信息，模仿上述序列的方法维护；而轻儿子的信息则暴力上传即可。

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接下来正式讲讲实现。
对于修改操作，我们直接修改目标位置的矩阵。此时，只有该位置的祖先的答案才有可能变化。于是，修改矩阵以后，更新它所在重链的信息，再跳转至新的重链上。此时，原来重链的顶端就变为了该点的轻儿子，故暴力上传信息即可。之后重复这一过程。
对于查询操作，由于每一处的最佳决策均转移至根节点所在重链上，所直接查询根节点所在重链即可。总的时间复杂度为$O(n{\log }_2^{2}n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define lch (i << 1)
#define rch ((i << 1) | 1)
#define mid ((t[i].l + t[i].r) >> 1)
using namespace std;
const int mn = 100005, inf = -(1 << 30);
struct matrix{
    int a[2][2];
    matrix() {memset(a, 0, sizeof a);}
    matrix(int x, int y, int z, int w) {a[0][0] = x, a[0][1] = y, a[1][0] = z, a[1][1] = w;}
    matrix operator* (const matrix b) const
    {
        matrix ret;
        for(int i = 0; i < 2; i++)
            for(int j = 0; j < 2; j++)
                for(int k = 0; k < 2; k++)
                    ret.a[i][j] = max(ret.a[i][j], a[i][k] + b.a[k][j]);
        return ret;
    }
}tmp[mn];
struct seg{
    int l, r;
    matrix val;
}t[mn << 3];
struct edge{
    int to, nxt;
}e[mn << 1];
int fir[mn], cnt;
int v[mn], f[mn][2];
int fa[mn], siz[mn], son[mn], top[mn], num[mn], pos[mn], bot[mn], times;
inline void addedge(int a, int b) {e[++cnt] = (edge) {b, fir[a]}, fir[a] = cnt;}
inline int getint()
{
    int ret = 0, flg = 1; char c;
    while((c = getchar()) < '0' || c > '9')
        if(c == '-') flg = -1;
    while(c >= '0' && c <= '9')
        ret = ret * 10 + c - '0', c = getchar();
    return ret * flg;
}
void dfs1(int s, int f)
{
    fa[s] = f, siz[s] = 1;
    for(int i = fir[s]; i; i = e[i].nxt)
    {
        int t = e[i].to;
        if(t != f)
        {
            dfs1(t, s), siz[s] += siz[t];
            if(siz[son[s]] < siz[t]) son[s] = t;
        }
    }
}
void dfs2(int s)
{
    num[s] = ++times, pos[times] = bot[s] = s;
    if(son[s]) top[son[s]] = top[s], dfs2(son[s]), bot[s] = bot[son[s]];
    for(int i = fir[s]; i; i = e[i].nxt)
    {
        int t = e[i].to;
        if(t != fa[s] && t != son[s])
            top[t] = t, dfs2(t);
    }
}
void dfs(int s)
{
    f[s][1] = v[s];
    for(int i = fir[s]; i; i = e[i].nxt)
    {
        int t = e[i].to;
        if(t != fa[s])
            dfs(t), f[s][0] += max(f[t][0], f[t][1]), f[s][1] += f[t][0];
    }
}
void make_tree(int i, int l, int r)
{
    t[i] = (seg) {l, r, matrix(0, 0, 0, 0)};
    if(l == r)
    {
        int s = pos[l], g0 = 0, g1 = v[s];
        for(int i = fir[s]; i; i = e[i].nxt)
        {
            int t = e[i].to;
            if(t != fa[s] && t != son[s])
                g0 += max(f[t][0], f[t][1]), g1 += f[t][0];
        }
        tmp[l] = t[i].val = matrix(g0, g0, g1, inf);
        return;
    }
    make_tree(lch, l, mid), make_tree(rch, mid + 1, r), t[i].val = t[lch].val * t[rch].val;
}
matrix getans(int i, int l, int r)
{
    if(t[i].l == l && t[i].r == r) return t[i].val;
    if(r <= mid) return getans(lch, l, r);
    else if(l > mid) return getans(rch, l, r);
    else return getans(lch, l, mid) * getans(rch, mid + 1, r);
}
void edit_tree(int i, int p)
{
    if(t[i].l == p && t[i].r == p) {t[i].val = tmp[p]; return;}
    if(p <= mid) edit_tree(lch, p);
    else edit_tree(rch, p);
    t[i].val = t[lch].val * t[rch].val;
}
void edit(int p, int w)
{
    tmp[num[p]].a[1][0] += w - v[p], v[p] = w;
    while(p)
    {
        matrix a = getans(1, num[top[p]], num[bot[p]]);
        edit_tree(1, num[p]);
        matrix b = getans(1, num[top[p]], num[bot[p]]);
        p = fa[top[p]];
        if(!p) return;
        int x = num[p], g0 = a.a[0][0], g1 = a.a[1][0], f0 = b.a[0][0], f1 = b.a[1][0];
        tmp[x].a[0][0] = tmp[x].a[0][1] = tmp[x].a[0][0] + max(f0, f1) - max(g0, g1),
        tmp[x].a[1][0] += f0 - g0;
    }
}
int main()
{
    int n = getint(), m = getint(), a, b;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        v[i] = getint();
    for(int i = 1; i < n; i++)
        a = getint(), b = getint(), addedge(a, b), addedge(b, a);
    dfs1(1, 0), top[1] = 1, dfs2(1), dfs(1), make_tree(1, 1, n);
    while(m--)
    {
        a = getint(), b = getint(), edit(a, b);
        matrix ans = getans(1, num[1], num[bot[1]]);
        printf("%d\n", max(ans.a[0][0], ans.a[1][0]));
    }
}