图论学习笔记（7）

图论学习笔记（7）

二分图

基本概念

若图G的结点集V(G)可以分成两个非空子集V₁和V₂，并且满足图G的边xy关联的两个结点x，y分别属于这两个子集，则图G为二分图。

若二分图G的结点集合划分成两个子集V₁和V₂，不失一般性取基数较大的集合为V₁，即设|V₁|≥|V₂|。分类如下：

1. 若|V₁| ≥|V₂|，则称图G为平衡的。
2. 若|V₁| - |V₂| =1，则称图G为准平衡的。
3. 若|V₁| - |V₂| ≥2，则称图G为偏斜的。

注：

对于路P_n，当n是偶数时，P_n是平衡的，当n是奇数时，P_n是准平衡的。

对于圈C_n，当n是偶数时，C_n是二分图，并且是平衡的；当_n是奇数时，C_n不是二分图。

基本算法

判别图G是否为二分图的算法：

1. 在此过程中，用a和b表示相反的标号。
2. 任取一结点，标记为a。
3. 所有与a邻接的结点标记为b。
4. 对任意已标记的结点v，将所有与v邻接且未标记的结点标记为与v相反的标号。
5. 重复步骤3，知道不存在已标记结点邻接且还未标记的结点。
6. 如果图中还有未标记的结点，所有邻接的结点都标记为不同的标号，那么图G就是二分图，。设计和V1为二分图中所有标记为a的结点集；集合V2为二分图中所有标记为b的结点集。如果存在一对邻接点标记为同样的标号，那么图G就不是二分图。

基本定理

定理7.1 图G是二分图当且仅当图G不含奇圈。

推论7.1.1 树是二分图。