图论（Graph Theory）学习笔记（1）图的基本概念与应用基本概念图（graph）是数学关系的表示，由非空节点集V和有限边集E组成。不同节点组成的无序对称作边（edge）。设图G，若令V={v1,v2,...,vn}是包含n个节点的集合，其m条边的集合E={e1,e2,...,em}，其中，每一条边都是集合V的二元素子集{vi,vj}，简记为vivj或vjvi。集合V

图论学习笔记（2）基本概念设图G，u∈V(G)，v∈V(G)，u-v通道（u-v path）是指从结点u出发，经过一个交互的结点和边的序列，最后回到结点v的路径，其中连续的结点和边是关联的。通道的长度（length）是指通道经过边的数量。若一个通道中没有重复的边，则称该通道为迹（trace）。（注：迹中的结点是可以重复的）若迹开始和结束于相同的结点，则称该迹是闭的（closed

图论学习笔记（6）基本概念对于一给定连通图G，若其某个生成子图为一棵树，则称该图为图G的生成树。对于一给定的图G，每条边上标有一正数，称为权重，表示代价，则图G生成树T的代价即为T的所有边上权重之和。图G所有生成树中代价最小的生成树称为最小生成树。设集合A为图G的边集的子集，当图H满足：E(H)=A并且V(H) = {v : v与集合A内的边相关联}，记作，则称图H为集合A的边

图论学习笔记（7）二分图基本概念若图G的结点集V(G)可以分成两个非空子集V1和V2，并且满足图G的边xy关联的两个结点x，y分别属于这两个子集，则图G为二分图。若二分图G的结点集合划分成两个子集V1和V2，不失一般性取基数较大的集合为V1，即设|V1|≥|V2|。分类如下： 若|V1| ≥|V2|，则称图G为平衡的。 若

图论学习笔记（8）基本概念图的匹配M是有一些边组成的集合，其中的任何两个边都不关联。注：设X，Y是二分图G中的两个部分，则图G一个匹配中的每一条边关联的两个结点满足：一个在X中，另一个在Y中。事实上，图G的每条边也都满足。若X中的每个结点都关联于匹配M中的一条边，则称M为从X到Y的一个完全匹配。注：此时M未必是从Y到X的一个完全匹配。若M是从X到Y的一个完全匹配也是从Y到X

图论学习笔记（3）基本概念图G中的结点u与v相邻接当且仅当它们在图H中的相应结点也邻接，则称图G与图H是同构的（isomorphic），记作G≈H，否则，称两者为非同构的（nonisomorphic）。用函数描述同构：图G与图H同构，即存在一个一一映射函数 f : V(G) → V(H)，此时，图G中任何结点对u和v邻接当且仅当f(v)和f(u)在图H中邻接。函数 f 称作从G

图论学习笔记（4）基本概念并： 若图G与图H不相交，则G与H的并G∪H是一个新的图，它的结点集V(G∪H) = V(G)∪V(H)，边集E(G∪H) = E(G)∪E(H)，因此，G∪H是由图G和图H的副本组成。和：两个不相交的图G与H的和G+H是指在G∪H的基础上，增加图G的每个结点与图H的每个结点相连接得到的边。 当n ≥ 3时，轮W1,n是指K1与Cn的和，即W1,n=K1+

图论学习笔记（5）树基本概念若一个图的任何子图都不是圈，则称此图为无圈图。连通无圈图称为树（tree）。若一个连通图删除某便后变为非连通的，则被删除的边称为图的桥（bridge），故树的每一条边都是桥。注：对于非连通图来说，如果删除某边会增加连通分量的数目，则此边也同样称为图的桥。森林是指所有连通分量都为树的图。若一棵有根数每个结点的至多有两个孩子，则称该树为二叉树

图论学习笔记（9）距离与连通性基本概念设u和v为图G中给定的两个结点，则两者间的距离是指G中任意u-v测地线中边的数目，记作d(u,v)。图论中的距离函数满足如下公理（这三个公理称为三角不等式）： d(u,v) ≥ 0，当且仅当u = v 时，d(u,v) = 0。 对任意结点u、v都有d(u,v) = d(v,u)。 对任意结点u、v和w都有