图论学习笔记（3）

图论学习笔记（3）

基本概念

图G中的结点u与v相邻接当且仅当它们在图H中的相应结点也邻接，则称图G与图H是同构的（isomorphic），记作G≈H，否则，称两者为非同构的（nonisomorphic）。

用函数描述同构：

图G与图H同构，即存在一个一一映射函数 f : V(G) → V(H)，此时，图G中任何结点对u和v邻接当且仅当f(v)和f(u)在图H中邻接。函数 f 称作从G到H的同构函数（isomorphic function）。

相关推论：

令函数 f : V(G) → V(H)为图G与图H的同构函数，那么，对任意结点u∈V(G),都有deg(u)=deg(v)，换句话说，如果两个图同构，则对应的结点有相同的度数。

设图G与H同构，同构函数为 f : V(G) → H(G)。若在图G中，结点v1与v2间的测地线为v₁,v₂,v₃,...,v_k，则在图H中，f(v₁),f(v₂),f(v₃),...,f(v_k)是结点f(v₁)与f(v_k)间的测地线。

含n个结点的图G的度序列（degree sequence）是指按照节点度数排列的n-元非递增序列。

若一个非负整数的非递增序列S可以表示某个图的度序列，则称序列S是可绘的。

注：非递增序列可绘⇒图的结点度数之和是非负偶数。

相关算法：

可绘图度序列的判定算法

1. 从序列S中删除第一个数k。
2. 如果S的第一个数后的k个数都大于等于1，则将这k个数分别都减去1得到新序列S'；否则，停止，得出元序列不可绘图的结论。若S'全是0，停止，得原序列为可绘图。
3. 将步骤2得到的序列S'重新排序，得到非递增序列S*。
4. 令S=S*，转不骤1。

图常量是指根据图的某个性质定义的函数，即同构图将具有相同的函数值。

注：

如果 f 是图常量，而 f(G) ≠ f(H)，则图G于图H不同构。

用来说明图是否同构的一些量：

1. 结点个数
2. 连通分量个数
3. 边数
4. 度序列
5. 具有给定唯一度数结点对间的测地线长度
6. 图中的最长路
7. 具有唯一度数结点的邻接点的度

基本定理

定理3.1    设S是由以上算法得到的序列，那么当且仅当S'是可绘图序列时，S是可绘图序列。