本文深入探讨图论中的基本概念，包括路径、简单路径、迹、连通图及其相关定义，如闭路径、开路径、圈、偶圈、奇圈等，并介绍与连通性相关的定理，如度数至少为2的图必含圈，以及二分图与奇圈的关系等。
定义
定义1：路径
图G的一个非空点、边交替序列
W=v0e1v1e2…ekvk
W = v_0e_1v_1e_2\dots e_kv_k
W=v0e1v1e2…ekvk
称为一条从v0v_0v0到vkv_kvk的路径或**(v0,vk)(v_0,v_k)(v0,vk)-路径**，其中，vi−1v_{i-1}vi−1，viv_ivi是eie_iei的端点(1≤i≤k)。称v0v_0v0为W的起点，vkv_kvk为W的终点，viv_ivi(1≤i≤k-1)为W的内点，k为W的路长。
定义2：简单路径
一条路径，如果除第一个顶点和最后一个顶点之外，其余所以顶点均不同，那么该路径称为一条简单路径。
定义3：迹、路
设v0e1v1e2…ekvkv_0e_1v_1e_2\dots e_kv_kv0e1v1e2…ekvk是图G中一条路径，若边e1,e2,…,eke_1,e_2,\dots,e_ke1,e2,…,ek互不相同，则称该路径为迹；若点v0,v1,…,vkv_0,v_1,\dots,v_kv0,v1,…,vk互不相同，则称该路径为路。
定义4：闭/开路径、闭/开迹
设v0e1v1e2…ekvkv_0e_1v_1e_2\dots e_kv_kv0e1v1e2…ekvk是图G中的一条路径，如果v0=vkv_0 = v_kv0=vk，则称该路径为闭路径，否则称为开路径。特别地，若v0e1v1e2…ekvkv_0e_1v_1e_2\dots e_kv_kv0e1v1e2…ekvk是一条迹，k≥1，当v0=vkv_0 = v_kv0=vk时称为闭迹，否则称为开迹。闭迹也称为回路。
定义5：圈、偶圈、奇圈
设v0e1v1e2…ekvkv_0e_1v_1e_2\dots e_kv_kv0e1v1e2…ekvk是一条闭迹，如果v0,v1,…,vk−1v_0,v_1,\dots,v_{k-1}v0,v1,…,vk−1互不相同，则称该闭迹为圈或k圈，且当k为偶数时为偶圈，k为奇数时称为奇圈。
定义6：连通图
设G是一个图，u、v∈V(G)，如果存在从u到v的路，则称u、v是相连的或连通的，若G中任意两点都连通，则称图G是连通图。
定义7：距离
设G是一个图，u、v∈V(G)，若u、v是连通的，则称最短(u,v)-路的长为u，v的距离，记为d(u,v)。
定理
定理1
若图G中每个顶点度数至少为2，则G中必有圈。
定理2
一个图G是二分图⇔G中不含奇圈。
定理3
设G是具有n个顶点的简单图，若G有ε条边，ω\omegaω个连通分支，则
n−ω≤ϵ≤12(n−ω)(n−ω+1)
n-\omega \leq \epsilon \leq \frac{1}{2}(n-\omega)(n-\omega+1)
n−ω≤ϵ≤21(n−ω)(n−ω+1)
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