[BZOJ4659]Lcm（反演）

最新推荐文章于 2022-01-28 15:38:33 发布

wwyx2001

最新推荐文章于 2022-01-28 15:38:33 发布

阅读量339

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：莫比乌斯反演文章标签：莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Blue_CuSO4/article/details/80491186

莫比乌斯反演专栏收录该内容

14 篇文章

订阅专栏

该博客主要介绍了如何利用莫比乌斯反演解决[BZOJ4659]Lcm问题。首先忽略了题目中的复杂条件，简化问题为求LCM。接着指出，由于特定条件gcd(a,b)不含平方因子，即μ(d)≠0，因此不能使用线性筛，但可以通过枚举符合条件的d并更新其倍数来解决。对于模数p，博主提供了针对不同模数类型处理溢出的方法，以确保正确计算结果。" 110327215,10295445,Python处理CSV文件：计算学生总成绩与平均分,"['Python编程', '数据处理', '文件操作', '数据分析']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

我是超链接

题解：

题目中有三个条件，我们先不管第三个看起来很长的条件，那么就是让求。

\sum i = 1 n \sum j = 1 m i j ( i , j )

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m{ij\over (i,j)}$
经过类似 luogu3768的化简，我们得到的是

\sum T = 1 n s u m (n T) s u m (m T) T \sum t | T μ (t) t

$\sum _{T=1}^nsum({n\over T})sum({m\over T})T\sum _{t|T}μ(t)t$

= \sum T = 1 n s u m (n T) s u m (m T) \sum d | T μ (T d) (T d) 2 d

$=\sum _{T=1}^nsum({n\over T})sum({m\over T})\sum _{d|T}μ({T\over d})({T\over d})^2d$
其中

sum(i)=i(i+1)2 s u m ( i ) = i ( i + 1 ) 2 $sum(i)={i(i+1)\over 2}$

后面那个一看就可以线性筛出来。现在我们考虑题目中的【不存在n>1使得n^2同时整除a和b】，转化为数学语言就是gcd(a,b)不含平方因子，这个gcd(a,b)在我们的柿子中就是d啊
d不含平方因子也就是μ(d)!=0

因为有特殊限制，我们就不能用线筛了，但是可以枚举μ(d)!=0的d，然后更新d的倍数，一次询问就可以在sqrt(n)的情况下解出来

最后这个模数
如果是对p=2^30取模，那应该开int，自然溢出，最后(%p+p)%p
如果是对p=2^31取模，那应该开unsigned int，自然溢出，最后&(p-1)

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=4000000;
const int p=1<<30;
int g[N+5],mu[N+5],pri[N+5],tot;bool ss[N+5];
void pre()
{
    mu[0]=mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++)
    {
        if (!ss[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot && pri[j]*i<=N;j++)
        {
            ss[pri[j]*i]=1; 
            if (i%pri[j]==0) break;
            mu[pri[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=N;i++) if (mu[i])
      for (int j=i;j<=N;j+=i)
      {
        g[j]+=mu[j/i]*i*(j/i)*(j/i);
      }
    for (int i=1;i<=N;i++) g[i]+=g[i-1];
}
int sum(int x){return x*(x+1)>>1;}
int main()
{
    pre();
    int T,n,m;scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int last=0,ans=0;
        if (n>m) swap(n,m);
        for (int i=1;i<=n;i=last+1)
        {
            last=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=sum(n/i)*sum(m/i)*(g[last]-g[i-1]);
        }
        printf("%d\n",(ans%p+p)%p);
    }
}