博弈问题方法单-----对称性篇_博弈和对称性奥数-优快云博客

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本文通过分析两种游戏策略，探讨了在特定条件下如何确定游戏的胜负。首先介绍了当存在多堆相同数量石子时，利用对称性原理判断胜负的方法。其次讨论了在圆形硬币游戏中，如何制定必胜策略。

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有时候如果能确定什么情况下游戏是必胜的，什么情况下游戏是必败的，那么题目就很简单了。而确定这一类状态非常方便的思路就是“对称性”。如果能够把游戏分成对称的两部分，那么先手在某一部分里做了某个操作，后手就可以在另一部分里做和它同样的操作。最后肯定是先手先结束他自己的那一部分，后手再结束另一部分，那么后手就胜利了。

1、题目：

[POJ1740] A New Stone Game

题意：

有若干堆石子，每一次需要从一堆石子中拿走一些，然后如果愿意的话，再从这堆石子中拿一些分给其它任意堆。不能操作的人负。

题解：

考虑只有一堆石子的时候，先手必胜；两堆呢，如果这两堆石子相等的话，考虑对称性，即先手做什么，后手跟着做什么，先手先结束自己的部分，然后后手结束自己的部分，最后后手胜利，推广到偶数堆且每两堆石子个数相等也适用；

考虑一下奇数堆，先手可以拿走一堆分配使其变成偶数堆，每两堆石子个数相等，这样给后手营造出先手必败的场景，即先手必胜的场景

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[20];
int main()
{
    int n;bool fff=0;
    while (scanf("%d",&n) && n)
    {
        fff=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        if (n%2) {printf("1\n");continue;}
        sort(a+1,a+n+1);
        for (int i=2;i<=n;i+=2)
          if (a[i]!=a[i-1]) {fff=1;break;}
        if (!fff) printf("0\n");else printf("1\n");
    }
}

2、题目：

[POJ2484] A Funny Game

题意：

一圈硬币，每次可以拿走一个或者相邻的两个，不能操作的人负。问是否有必胜策略。

题解：

我们类似上一题的思路，如果只有一个/两个硬币，先手直接胜利；
其他的圆，先手操作一次后，圆成链，后手只要操作一次就能形成两条一毛一样的链，然后后手一直模仿先手就能获胜啦

代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d",&n) && n)
      if (n==1 || n==2) printf("Alice\n");else printf("Bob\n");
}