BZOJ 1087 浅谈状态压缩动态规划的转移

这里写图片描述
世界真的很大
动态规划有很多状态压缩的动态规划也算是一大类了
这类题的特征是数据规模小,状态复杂,dp转移巨艰难
而且状态一般可以归类为许多个“是”或“不是”的集合
于是我们想到可以用2进制01串来表示状态的集合
把状态集合的01串定义为一个数,成为dp方程的某一维
dp的转移就考虑状态与状态之间的关系。
我发现我还没写过动态规划的博客
那是因为
真的不会啊!!!!
今天我自己yy了很久,yy出来了这道值得分享的状态压缩动态规划
真的很高兴23333333
先看一下题吧:
description

 在N×N的棋盘里面放K个国王,使他们互不攻击,共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右,以及左上
左下右上右下八个方向上附近的各一个格子,共8个格子。

input

 只有一行,包含两个数NK1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N

output

方案数。

状态压缩无误(n< =9 )
因为01串是一排的,所以考虑按行转移
考虑需要维护的状态 “行数,国王数,每行的状态”
所以定义dp方程:f[i][j][k]
i表示当前行,j表示当前行状态的01串(0表示没放,1表示放了),k表示到当前行为止一共放了多少个国王
状态转移,枚举上一行的状态就行了
但是每次还有合法性的判断。
比如一行的一个位置放了国王,同行与他相邻的位置就不能放。记录同行合法的状态cre[i]数组,i表示当前行的状态
比如一行的一个位置放了国王,相邻两行的3个位置也不能放,用数组rec[i][j] 记录i,j状态的两行放在一起是否合法
顺便cnt[i]记录i状态这一行下有多少个国王
初始状态f[1][i][cnt[i]]=1
可以暴力枚举以预处理
完整代码:

#include<stdio.h>
typedef long long dnt;

dnt ans=0;
dnt f[10][1010][100];
int n,K,ste;
int cre[100010],rec[1010][1010],cnt[1010];

bool check(int state,int rstate)
{
    if( (state&rstate)|| (state&(rstate>>1)) || (state&(rstate<<1)))
       return 0;
    return 1;
}

void init()
{
    for(int i=0;i<=ste;i++)
        if(!(i&(i>>1)))
        {
            int tmp=0;
            for(int j=i;j;j>>=1) if(j&1) tmp++;
            cnt[i]=tmp;
            cre[i]=1; 
        }
    for(int i=0;i<=ste;i++)
    if(cre[i])
       for(int j=0;j<=ste;j++)
       if(cre[j])
            rec[i][j]=check(i,j);  
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    ste=(1<<n)-1;
    init();
    for(int i=0;i<=ste;i++)
        if(cre[i]) f[1][i][cnt[i]]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=ste;j++)
        {
            if(!cre[j]) continue ;
            for(int k=0;k<=ste;k++)
            if(cre[k]&&rec[j][k])
                for(int p=cnt[k];p<=K-cnt[j];p++)
                    f[i][j][p+cnt[j]]+=f[i-1][k][p];
        }
    for(int i=0;i<=ste;i++) ans+=f[n][i][K];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

嗯,就是这样

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