[JSOI2009]有趣的游戏

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概率期望

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高斯消元

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本文介绍了一种使用AC自动机和动态规划解决字符串匹配概率问题的方法。通过构建AC自动机并结合给定的字符串集合和概率分布，文章详细阐述了如何求解每个字符串首次出现在随机生成字符串中的概率。

题意

给你一个字符串集

构造一个串 $S,$ 每个位置你有 $p_i$ 的概率插入第 $i$ 个字符

问字符串集中每个字符串最先出现在构造的串中的概率

题解

涉及到字符串匹配首先想到建立 $AC$ 自动机

考虑在 $trie$ 图上 $DP$

设 $f[u]$ 表示 $u$ 状态在 $S$ 中出现的概率

如果 $u$ 不是终止节点 $,$ 那么有

f [c h [u] [i]] = \sum f [u] \times p i

$f[ch[u][i]]=\sum f[u]\times p_i$

可以看出这个转移是成环的 $,$ 所以需要高斯消元

注意到所有字符串集中的字符串出现概率和为 $1$

设 $id_i$ 表示第 $i$ 个字符串在 $trie$ 图上的位置

即 $\sum_if[id[i]]=1,$ 随意替换掉一个方程就可以了

注意特判 $0.00$

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sd(T&x){
    char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c==45)y=-1;x=c-48;
    while(c=gc(),47<c&&c<58)x=x*10+c-48;x*=y;
}
inline void Sd(char*s){char c;while(c=gc(),c<32);*s++=c;while(c=gc(),c>32)*s++=c;}
const int N=120;
const double eps=1e-12;
typedef int arr[N];
typedef double db;
int n,m,l;arr id;db p[N],ans[N],G[N][N];
struct ACAM{
    int Cnt,ch[N][26];arr ex,fail;char s[N];
    #define v (ch[u][i])
    inline int ins(){
        Sd(s);int u=0,i;
        fp(j,0,l-1)i=s[j]-'A',u=!v?v=++Cnt:v;
        ex[u]=1;return u;
    }
    inline void gf(){
        static int q[N];int u=0,i,h=1,t=0;
        fp(i,0,m)if(v)q[++t]=v;fail[0]=-1;
        while(h<=t)for(u=q[h++],i=0;i<=m;++i)v?fail[q[++t]=v]=ch[fail[u]][i]:v=ch[fail[u]][i];
    }
    inline void build(){
        fp(u,0,Cnt)G[u+1][u+1]=1;
        fp(u,0,Cnt)if(!ex[u])fp(i,0,m)G[v+1][u+1]-=p[i];
        fp(u,0,Cnt)G[1][u+1]=ex[u];G[1][Cnt+2]=1;
    }
    #undef v
}ac;
inline int cmp(db x){return fabs(x)<eps?0:x<0?-1:1;}
inline void Gauss(int n){
    db t;int mx;
    fp(i,1,n){mx=i;
        fp(j,i,n)if(fabs(G[mx][i])<fabs(G[j][i]))mx=j;
        if(mx^i)fp(j,i,n+1)swap(G[mx][j],G[i][j]);
        fp(j,i+1,n)if(cmp(G[j][i])){
            t=G[j][i]/G[i][i];
            fp(k,i,n+1)G[j][k]-=G[i][k]*t;
        }
    }
    fd(i,n,1){
        fp(j,i+1,n)G[i][n+1]-=G[i][j]*ans[j];
        ans[i]=G[i][n+1]/G[i][i];
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    sd(n),sd(l),sd(m);int a,b;--m;
    fp(i,0,m)sd(a),sd(b),p[i]=(db)a/b;
    fp(i,1,n)id[i]=ac.ins();
    ac.gf();ac.build();
    Gauss(ac.Cnt+1);
    fp(i,1,n)if(ans[id[i]+1]>0)printf("%.2lf\n",ans[id[i]+1]);else puts("0.00");
return 0;
}