【IPMV】图像处理与机器视觉：Lec3 Perspective Transformation

【IPMV】图像处理与机器视觉

本系列为2025年同济大学自动化专业**图像处理与机器视觉**课程笔记
Lecturer: Rui Fan

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Lec0 Course Description

Lec3 Perspective Transformation

Lec7 Image Filtering

Lec8 Image Pyramid

Lec9 Laplace Blending

Lec10 Edges and Lines

Lec11 Keypoint Features and Corners

Lec12 Blob Detector

持续更新中

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Lec3 Perspective Transformation

0 Preliminaries：线性代数预备知识

MATH AHEAD

0.1 向量运算

0.1.2 Vector Multiplication

$\mathbf{a}{\mathbf{b}}^T=\mathbf{T}\to$矩阵

0.1.1 Dot Product and Cross Product

1. 点乘：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=||\mathbf{a}|{|}_2||\mathbf{b}|{|}_{2}cos(\theta )=\sqrt{{\mathbf{a}}^T\mathbf{a}}\sqrt{{\mathbf{b}}^T\mathbf{b}}cos\theta$

2. 叉乘：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=||\mathbf{a}|{|}_2||\mathbf{b}|{|}_{2}sin(\theta )\mathbf{n}$

• 结果：垂直于两个向量的新 向量
• 方向：右手定则
• 大小：两向量构成的平行四边形的面积

后面会提到如何利用反对称矩阵将叉乘运算转换成矩阵乘法

0.2 Norm 范数

When $R^{n\times 1}$ ,

• 1-范数：$||\mathbf{a}||={\sum }_{k=1}^n|a_k|$，向量元素绝对值之和

• 2-范数：$||\mathbf{a}|{|}_2=\sqrt{{\sum }_{k=1}^n|a_k{|}^2}$，向量绝对值平方再开方（常用计算向量长度）

• p-范数：$||\mathbf{a}|{|}_p=({\sum }_{k=1}^n|a_k{|}^p{)}^{1/p}$

  • $p\to +\infty$时，$||\mathbf{a}|{|}_{+\infty }=max|a_i|（$推导）
  • $p\to -\infty$时，$||\mathbf{a}|{|}_{-\infty }=min|a_i|$

如何理解范数？
假设有两个学生 $A$ 和 $B$ 。我们分别用向量$\mathbf{a}$ 和向量 $\mathbf{b}$ 对他们进行 “评估”。

0.3 Skew-Symmetric Matrix 反对称矩阵

非常巧合的是，Robotics 刚学这部分内容，猜测后面会讲齐次变换矩阵之类的

概念：

$1\times 3$ 向量 $\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]$，其对应的反对称矩阵 $[\mathbf{a}{]}_{\times }$：
[ a ] × = [ 0 − a