【IPMV】Lab2-2 从零玩转Eigen库：掌握线性代数与OpenCV互操作的神器！(二)

Lab2-2 从零玩转Eigen库：掌握线性代数与OpenCV互操作的神器（二）

参考自同济大学蒋磊老师编写的IPMV实验说明
同济大学自动化专业IMPV课程学习记录 （包含知识点以及实验）

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待更新

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🌫️高斯模糊与频域特征分析

0 前言

嘿！有没有想过把一张图片变得朦胧又梦幻？或者让照片里的噪点统统消失？这就是 高斯模糊（Gaussian Blur） 大显身手的时候！作为一种经典的图像处理技术，高斯模糊不仅能制造出柔和的模糊效果，还在许多图像处理任务中扮演着关键角色，比如去噪、边缘检测前的平滑处理等。

在上一篇文章中，我们探讨了 Eigen 库的基本操作、线性代数运算以及与 OpenCV 的互操作。这次，我们不但要用 OpenCV 提供的 cv2.GaussianBlur() 轻松搞定高斯模糊，还要用Eigen库来亲手DIY一个高斯模糊算子！更进一步，我们会深入到离散傅里叶变换（DFT） 的世界，对比处理前后图像的频域特征，看看模糊前后到底发生了什么！

无论你是想优化图像识别算法，还是纯粹想要理解图像处理背后的数学原理，这篇文章都能带你轻松入门并大展身手！

1 🎯任务目标

1. 使用 OpenCV 实现高斯模糊
2. 使用 Eigen 自制高斯模糊算子
3. 进行频域特征分析与可视化

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2 🌌高斯模糊

2.1 📚高斯模糊：究竟是什么？

高斯滤波是一种经典的线性平滑滤波技术，广泛用于图像处理的预处理阶段，尤其是消除高斯噪声。想象一下：当你拍照时，如果镜头稍微失焦，或者在玻璃上哈气，你会看到一种柔和的、朦胧的效果——这正是高斯模糊带来的视觉体验。

高斯模糊的本质就是给图像“戴上眼镜”：通过对每一个像素点进行加权平均，将其与周围的像素混合，使图像显得更加平滑柔和。这个加权平均的规则就像一座山峰，从中心点向外逐渐递减，呈现出一种自然的“扩散”效果。

2.2 🔬工作原理：模糊的数学之美

2.2.1 高斯函数与高斯核

所谓的“模糊”，其实就是让每个像素点的值变成它周围像素的加权平均值。那么问题来了：如何合理分配权重？
答案是——高斯函数（Gaussian Function）。

想象一下：在一座山峰上，山顶（中心点）是最重要的点，它的权重最大。随着距离的增加，山势逐渐降低，权重也随之递减。这个过程用高斯函数来描述再合适不过了。

高斯函数（默认中心点为原点）：
$$G(x)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$$

一维高斯分布（正态分布）：

然而，图像是二维的，因此我们需要扩展到二维空间：

二维高斯函数：
$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中：

• $x,y$ 是相对中心点的位置坐标。
• $\sigma$ 是标准差，决定模糊的程度。$\sigma$ 越大，模糊效果越强，图像越发柔和。

2.2.2 高斯模糊的核心：卷积操作

高斯模糊的实现过程，就是用一个叫做 高斯核（Gaussian Kernel） 的小窗口对图像进行逐点扫描。想象一下，你拿着一个带有权重的小模板在图片上“扫来扫去”，每次都会用模板的权重对图像中的像素进行加权求和。

公式表示：
$$I_{blurred}=\sum _{i=-k}^k\sum _{i=-k}^{k}I(x+i,y+j)\cdot K(i,j)$$

2.2.3 优化高斯模糊计算：行列分离

1. 行列分离的高斯模糊

直接用二维高斯核卷积，计算量很大。幸运的是，二维高斯核其实可以分解为两个一维高斯核的乘积。这就像用一把锋利的刀将一块大蛋糕（二维卷积）切成两条细长的条状（两个一维卷积）：

G ( x , y ) = G ( x ) ⋅ G ( y ) G ( x ) = 1 2 π σ 2 e − x 2 2 σ x 2 G ( y ) = 1 2 π σ 2 e − y 2 2 σ y 2 G(x,y)=G(x)\cdot G(y) \\ G(x) = \frac{1} {2 \pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}} \\ G(y) = \frac{1} {2 \pi \sigma^2} e^{-\frac{y^2}{2\sigma_y^2}} \\ G(x,y)=G(x)⋅G(y)G(x)=2πσ