求 证 : 交 换 一 个 行 列 式 的 某 两 行 ( 列 ) , 行 列 式 改 变 符 号 . 证 明 如 下 : 设 给 定 行 列 式 为 : D = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . a i 1 a i 2 . . . a i n . . . . . . a j 1 a j 2 . . . a j n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ 交 换 i j 两 行 以 后 得 : D ′ = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . a j 1 a j 2 . . . a j n . . . . . . a i 1 a i 2 . . . a i n . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ 其 中 D = ∑ ( − 1 ) τ ( 123... n ) + τ ( p 1 p 2 . . p i . . p j . . p n ) a 1 p 1 a 2 p 2 . . a i p i . . a j p j . . a n p n 交 换 i j 两 行 后 , D 中 第 i 行 第 p i 列 的 元 素 a i p i 对 应 D ′ 中 的 第 j 行 第 p i 列 的 元 素 a j p i , D 中 第 j 行 第 p j 列 的 元 素 a j p j 对 应 D ′ 中 的 第 i 行 第 p j 列 的 元 素 a i p j , 即 有 : D ′ = ∑ ( − 1 ) τ ( 123... n ) + τ ( p 1 p 2 . . p j . . p i . . p n ) a 1 p 1 a 2 p 2 . . a i p j . . a j p i . . a n p n 其 中 τ ( p 1 p 2 . . p i . . p j . . p n ) 与 τ ( p 1 p 2 . . p j . . p i . . p n ) 奇 偶 属 性 发 生 了 改 变 , 所 以 有 D = − D ′ ; 求证: 交换一个行列式的某两行(列), 行列式改变符号.\\ ~\\ 证明如下: 设给定行列式为: D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ & ... & ... \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ & ... & ... \\ a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\ & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} \\ ~\\ 交换ij两行以后得:D^{'} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ & ... & ... \\ a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\ & ... & ... \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} \\ ~\\ 其中~D = \sum(-1)^{\tau(123...n) + \tau(p_1p_2..p_i..p_j..p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}..a_{ip_i}..a_{jp_j}..a_{np_n} \\ ~\\ 交换ij两行后,~D中第i行第p_i列的元素a_{ip_i}对应~D^{'}中的第j行第p_i列的元素a_{jp_i},~D中第j行第p_j列的元素a_{jp_j}对应~D^{'}中的第i行第p_j列的元素a_{ip_j},~即有: \\ ~\\ D^{'} = \sum(-1)^{\tau(123...n) + \tau(p_1p_2..p_j..p_i..p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}..a_{ip_j}..a_{jp_i}..a_{np_n} \\ ~\\ 其中~\tau(p_1p_2..p_i..p_j..p_n)与~\tau(p_1p_2..p_j..p_i..p_n)奇偶属性发生了改变, 所以有~D = -D^{'}; 求证:交换一个行列式的某两行(列),行列式改变符号. 证明如下:设给定行列式为:D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11ai1aj1an1a12...ai2...aj2...an2.....................a1nainajnann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 交换ij两行以后得:D′=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11aj1ai1an1a12...aj2...ai2...an2.....................a1najnainann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 其中 D=∑(−1)τ(123...n)+τ(p1p2..pi..pj..pn)a1p1a2p2..aipi..ajpj..anpn 交换ij两行后, D中第i行第pi列的元素aipi对应 D′中的第j行第pi列的元素ajpi, D中第j行第pj列的元素ajpj对应 D′中的第i行第pj列的元素aipj, 即有: D′=∑(−1)τ(123...n)+τ(p1p2..pj..pi..pn)a1p1a2p2..aipj..ajpi..anpn 其中 τ(p1p2..pi..pj..pn)与 τ(p1p2..pj..pi..pn)奇偶属性发生了改变,所以有 D=−D′;
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