线性代数学习笔记（三）——行列式的性质

本篇文章首先引入行列式转置的概念，然后逐一给出了行列式的七个基本性质，需要注意的是：对行成立的性质对列也同样成立。最后强调了性质7的重要性，并总结了在做题过程中的规范和注意事项。

1 转置

将行列式的行做成列，转置记作：$D^T$或$D^{’}$（T表示Transformers）。
$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\\ 8& 8& 8\end{array}\right|$

$D^T=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 8\\ 2& 1& 8\\ 3& 1& 8\end{array}\right|$

对行列式转置之后再转置等于原行列式，即$(D^T{)}^T=D$。可以发现，对行列式求$2n(n\ge 1)$次转置仍然等原行列式。

2 性质

2.1 性质1

行列式转置，值不变，即$D^T=D$（对行成立的性质对列也成立）。

举例：
$D=\left|\begin{array}{cccc}①& 2& 3& 4\\ 1& 1& 1& ⑥\\ 2& ⑧& 8& 8\\ 9& 9& ⑨& 3\end{array}\right|$

行列式$D$中$①⑥⑧⑨$项的行标为4级标准排列$1234$，列标排列为$1423$，所以为该项使用第一种定义展开：$(-1{)}^{N(1432)}1\times 6\times 8\times 9$。

$D^T=\left|\begin{array}{cccc}①& 1& 2& 9\\ 2& 1& ⑧& 9\\ 3& 1& 8& ⑨\\ 4& ⑥& 8& 3\end{array}\right|$

转置行列式$D^T$中$①⑥⑧⑨$项的行标排列为$1423$，列为4级标准排列$1234$，所以为该项使用第二种定义展开：$(-1{)}^{N(1432)}1\times 6\times 8\times 9$。

不难发现，行列式$D$和其转置行列式$D^T$中的$①⑥⑧⑨$项的值相同，可以推出，其他各项值也会完全相同，故$D^T=D$。

2.2 性质2

行列式两行互换，值变号。

举例（交换行列式$D_1$中的1、3行变成行列式$D_2$）：
$D_1=\left|\begin{array}{cccc}1& ②& 3& 4\\ 5& 6& ⑦& 8\\ 9& 10& 11& ⑫\\ ⑬& 14& 15& 16\end{array}\right|$

行列式$D_1$中$②⑦⑫⑬$项的行标排列为4级标准排列$1234$，列标为$2341$，所以为该项使用第一种定义展开：$(-1{)}^{N(2341)}2\times 7\times 12\times 13$。

$D_2=\left|\begin{array}{cccc}9& 10& 11& ⑫\\ 5& 6& ⑦& 8\\ 1& ②& 3& 4\\ ⑬& 14& 15& 16\end{array}\right|$

行列式$D_2$中$②⑦⑫⑬$项的行标排列为$3214$，列标排列为$2341$，所以为该项使用第三种定义展开：$(-1{)}^{N(3214)+N(2341)}2\times 7\times 12\times 13$。

不难发现，行列式$D_1$和行列式$D_2$对于$②⑦⑫⑬$项差一个$(-1{)}^{N(3214)}$因数，而$N(3214)=2+1+0+0=3$是一个奇排列，故该项相差一个负号，同理可以推出，其他各项也相差一个负号，所以$D_{}$