蓝桥杯 PREV-15 格子刷油漆

蓝桥杯PREV - 15格子刷油漆算法解析

最新推荐文章于 2025-02-01 22:32:30 发布

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#算法

这篇博客详细解析了蓝桥杯PREV-15题目的格子刷油漆问题。通过分析起点类型，讨论了从角落和中间开始刷油漆的不同策略。博主提出了一种递归关系来计算从角落出发的方案数，并给出了从中间开始的复杂情况的计算公式。文章提供了完整的思路，帮助读者理解解题过程。

历年试题 PREV-15 格子刷油漆

题目：传送门
解析：
分析题目我们可以知道刷油漆的的起点可以分为两类，一是在第一列和最后一列的四个格子开始；而是在中间的某个格子开始。
对于从角落开始的方案比较好分析，对于从中间开始的，可以将其分解。
例如：城墙为2*5，假设我们从C格开始刷漆，且先向右再向左刷漆。那么可以以B,G和C,H的交界为分割线，右边部分需要从C出发，最后返回与C同列的对应位置H。左边部分则可以从B或G出发，最后的位置任意。先左后右类似。

A	B	C	D	E
F	G	H	I	J

因此，我们只需要分析从角落开始刷漆，最终位置为开始位置同列的对应格和最终位置任意的情况的方案。

1.从左上角格子A出发，最终返回左下角格子F
该情形下，每一列初次只能刷一格，这样才能刷满右边步步返回左下角格子F。每一次向下一列移动有两种选择，故若以i代表格子列数，b[i]代表共有i列时从左上角格子出发，回到左下角的方案数，则有递归关系b[i]=2*b[i]。且b[1]=1,b[2]=2。以此关系可以求出n列时的方案数。
2.从左上角格子A出发，最终位置不确定
最终位置不确定，既可以在同列的对应位置(1中已求),又可以在非同列的位置(待求)。若以i代表格子列数，a[i]代表共有i列时从左上角格子出发，最终停在非同列对应位置的方案数。最终位置与开始位置不同列，又有两种情况：
2.1.A->B/G->F->G/B：向下一列刷，有两种方案到下一列，然后返回左下角，再刷下一列未刷格子之后，然后有两种方案再到下一列，可见有四种方案到下下列，所以刷完所有格子有4*a[i-2]个方案
2.2.A->F->B/G：向下刷，向下刷完之后有两种方法跳到下一列，刷完剩下的i-1列有2*a[i-1]种方案。

因此，可以得到 a[i]=b[i]+2a[i-1]+4a[i-2](i>=3);且a[1]=1,a[2]=6。

所以，对于n列，从角落出发，最终方案共有4*a[n]种；从中间出发，共有 $\sum_{i=2}^{n-1}(2 \times b[n-i+1] \times 2 \times a[i-1] + 2 \times b[i] \times 2 \times a[n-i])$