蓝桥杯 格子刷油漆 动态规划 By Assassin

好久没做动态规划的题目，脑子都生锈了。
这是动态规划的一个经典题目。

问题描述
　　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。 
　　

    你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
　　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
　　c e f d a b 是另一种合适的方案。
　　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。
输入格式
　　输入数据为一个正整数（不大于1000）
输出格式
　　输出数据为一个正整数。
样例输入
2
样例输出
24
样例输入
3
样例输出
96
样例输入
22
样例输出
359635897

思路：
我们观察可以发现这是两行，所以当从四个顶点出发时终点是不受限制的，然而如果不是从第一列和最后一列的点作为出发点，如有10个点，我们以第五列第一行的点作为出发点，加入初始方向向左，那么我们必须回到第五列第二行然后到右边去才可以完成全图!所以出发点分为两种情况。

然后我们知道有两种走法，一个是终点任意，另一种是终点必须和起点同一列。
那么我们知道动态规划的特性，当前状态不能收到之前状态的影响，那么怎么去考虑呢。我们假设a[n]为起点为某一角落长度为n终点任意的情况数，b[n]为起点为某一角落长度为n终点必须同列的情况数。我们分析一下因为b[i]为了保证回到起点列的另一个位置，所以长度为i的情况数为

$$b[i]=2^i$$

分析a[i]，当起点为四个角落的时候:

• 情况一

  假设起点为第一列的第一行，先向下移动，再向右移动某个位置，情况数相当于 做长度为i-1的终点任意的情况数*2 因为不需要在回到第一列，而且到第二列的时候可能是第一行或者第二行，所以需要×2.