蓝桥杯 PREV-20 公式求值

这是一篇关于蓝桥杯PREV-20公式的解析文章,详细介绍了如何利用Lucas定理求解Cnm,并通过递推及母函数方法计算求和项∑i=0^n C_n^i * i^k,同时讨论了解题过程中防止数据溢出的方法和优化策略。

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历年试题 PREV-20 公式求值

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解析
本题难度较大,对于数学和编程的要求都较高。解题步骤分解如下:

1.分析解析式,确定求解方式

∑ i = 0 n C n i ⋅ C n m ⋅ i k \sum_{i=0}^n C_n^i \cdot C_n^m \cdot i^k i=0nCniCnmik
可以将公式分为两部分来求解,一部分求 C n m C_n^m Cnm,因为n,m取值较大,所以使用Lucas定理来求解这部分;另一部分则是 ∑ i = 0 n C n i ⋅ i k \sum_{i=0}^n C_n^i \cdot i^k i=0nCniik,可以通过母函数变形来求解。

2.使用Lucas定理求 C n m C_n^m Cnm 1


Lucas定理的递归实现如下:

long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {
   
  if (m == 0) return 1;
  return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;
}

由此可知,我们还需要求解组合数的函数,虽然经过lucas定理后,需求组合数的n,m大幅减小,但是仍然在[0,999101)的范围内,因此需要提前计算存储[0,999101)的阶乘,需要时直接取出使用。同时,我们需要考虑到溢出的问题:
C a b ( m o d   p ) = a ! b ! ( a − b ) ! ( m o d   p ) C_a^b (mod \ p)= \frac{a!}{b!(a-b)!} (mod \ p) Cab(mod p)=b!(ab)!a!(mod p)
其中可能再计算过程中就会出现数据溢出的问题,导致最后结果出错。因此我们需要想办法把分子和分母在计算过程中都能不停的对999101取余。
但是,由同余的性质我们可知:
( a + b ) % m = ( ( a % m ) + ( b % m ) ) % m ( a − b ) % m = ( ( a % m ) − ( b % m ) ) % m ( a × b ) % m = ( ( a % m ) × ( b % m ) ) % m (a+b)\%m=((a\%m)+(b\%m))\%m \\ (a-b)\%m=((a\%m)-(b\%m))\%m \\ (a \times b)\%m=((a\%m) \times (b\%m))\%m (a+b)%

### 蓝桥杯竞赛中青蛙跳台阶问题的解法 #### 问题描述 青蛙跳台阶问题是经典的递归与动态规划问题之一。假设一只青蛙一次可以跳上1级或2级台阶,计算它跳上`n`级台阶共有多少种方法。 --- #### 解题思路分析 此问题的核心在于找到状态转移方程并利用递归或动态规划实现解决方案: 1. **递归关系推导** 假设到达第`n`级台阶的方法总数为`f(n)`,则可以通过以下两种情况得到: - 如果最后一次跳跃是1步,则剩余的是`f(n-1)`; - 如果最后一次跳跃是2步,则剩余的是`f(n-2)`。 因此,状态转移方程可表示为: \[ f(n) = f(n-1) + f(n-2), \quad n \geq 2, \text{其中 } f(0)=1, f(1)=1. \][^5] 2. **递归解法** 使用递归来解决该问题是一种直观的方式,但由于存在大量重复计算,时间复杂度较高(指数级别)。以下是基于上述公式的递归代码实现: ```python def frog_jump_recursive(n): if n == 0 or n == 1: return 1 return frog_jump_recursive(n - 1) + frog_jump_recursive(n - 2) ``` 3. **动态规划优化** 动态规划通过存储中间结果来避免重复计算,从而显著降低时间复杂度至线性级别\(O(n)\),空间复杂度同样为\(O(n)\)。具体实现如下: ```python def frog_jump_dp(n): if n == 0 or n == 1: return 1 dp = [0] * (n + 1) dp[0], dp[1] = 1, 1 for i in range(2, n + 1): dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] return dp[n] ``` 4. **进一步优化的空间效率** 可以观察到,在动态规划过程中仅需保存最近两个状态即可完成当前状态的更新,因此可通过滚动数组将空间复杂度降至常量级别\(O(1)\): ```python def frog_jump_optimized(n): if n == 0 or n == 1: return 1 prev1, prev2 = 1, 1 for _ in range(2, n + 1): current = prev1 + prev2 prev2 = prev1 prev1 = current return prev1 ``` --- #### 总结 对于蓝桥杯中的此类题目,推荐优先采用动态规划或其优化版本进行求解,因为它们的时间和空间性能更优。而递归虽然易于理解,但在大规模输入情况下可能会因栈溢出或超时而导致失败[^2]。 ---
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