蓝桥杯 PREV-20 公式求值

最新推荐文章于 2025-03-24 15:45:57 发布

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#算法

这是一篇关于蓝桥杯PREV-20公式的解析文章，详细介绍了如何利用Lucas定理求解Cnm，并通过递推及母函数方法计算求和项∑i=0^n C_n^i * i^k，同时讨论了解题过程中防止数据溢出的方法和优化策略。

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历年试题 PREV-20 公式求值

题目：传送门
解析：
本题难度较大，对于数学和编程的要求都较高。解题步骤分解如下：

1.分析解析式，确定求解方式

$\sum_{i=0}^n C_n^i \cdot C_n^m \cdot i^k$
可以将公式分为两部分来求解，一部分求 $C_n^m$ ,因为n，m取值较大，所以使用Lucas定理来求解这部分；另一部分则是 $\sum_{i=0}^n C_n^i \cdot i^k$ ,可以通过母函数变形来求解。

2.使用Lucas定理求 $C_n^m$ ¹

Lucas定理的递归实现如下：

long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {
   
  if (m == 0) return 1;
  return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;
}

由此可知，我们还需要求解组合数的函数，虽然经过lucas定理后，需求组合数的n，m大幅减小，但是仍然在[0,999101)的范围内，因此需要提前计算存储[0,999101)的阶乘，需要时直接取出使用。同时，我们需要考虑到溢出的问题：
$C_a^b (mod \ p)= \frac{a!}{b!(a-b)!} (mod \ p)$
其中可能再计算过程中就会出现数据溢出的问题，导致最后结果出错。因此我们需要想办法把分子和分母在计算过程中都能不停的对999101取余。
但是，由同余的性质我们可知:
$(a+b)\%m=((a\%m)+(b\%m))\%m \\ (a-b)\%m=((a\%m)-(b\%m))\%m \\ (a \times b)\%m=((a\%m) \times (b\%m))\%m$