历年试题 PREV-20 公式求值
题目:传送门
解析:
本题难度较大,对于数学和编程的要求都较高。解题步骤分解如下:
1.分析解析式,确定求解方式
∑ i = 0 n C n i ⋅ C n m ⋅ i k \sum_{i=0}^n C_n^i \cdot C_n^m \cdot i^k i=0∑nCni⋅Cnm⋅ik
可以将公式分为两部分来求解,一部分求 C n m C_n^m Cnm,因为n,m取值较大,所以使用Lucas定理来求解这部分;另一部分则是 ∑ i = 0 n C n i ⋅ i k \sum_{i=0}^n C_n^i \cdot i^k ∑i=0nCni⋅ik,可以通过母函数变形来求解。
2.使用Lucas定理求 C n m C_n^m Cnm 1
Lucas定理的递归实现如下:
long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {
if (m == 0) return 1;
return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;
}
由此可知,我们还需要求解组合数的函数,虽然经过lucas定理后,需求组合数的n,m大幅减小,但是仍然在[0,999101)的范围内,因此需要提前计算存储[0,999101)的阶乘,需要时直接取出使用。同时,我们需要考虑到溢出的问题:
C a b ( m o d p ) = a ! b ! ( a − b ) ! ( m o d p ) C_a^b (mod \ p)= \frac{a!}{b!(a-b)!} (mod \ p) Cab(mod p)=b!(a−b)!a!(mod p)
其中可能再计算过程中就会出现数据溢出的问题,导致最后结果出错。因此我们需要想办法把分子和分母在计算过程中都能不停的对999101取余。
但是,由同余的性质我们可知:
( a + b ) % m = ( ( a % m ) + ( b % m ) ) % m ( a − b ) % m = ( ( a % m ) − ( b % m ) ) % m ( a × b ) % m = ( ( a % m ) × ( b % m ) ) % m (a+b)\%m=((a\%m)+(b\%m))\%m \\ (a-b)\%m=((a\%m)-(b\%m))\%m \\ (a \times b)\%m=((a\%m) \times (b\%m))\%m (a+b)%