浮点数编码详解

  浮点数的表示思想是基于科学计数法的。例如：1234.5用科学计数法可表示为$1.2345\times 10^3$,其中1.2345称为尾数(mantissa)，3称为指数或阶(exponent)，10称为基数(radix)。在已知进制的情况下，只需要记录尾数和指数即可表示这个浮点数。

  同理，在计算机中浮点数表示以2为基数，只需记录尾数和指数即可。例如：$33.25=(100001.01{)}_2\times 2^0=(0.10000101{)}_2\times 2^6$，在计算机中，只需要记录0.10000101和6即可。

  为了在计算机中表示一个浮点数，我们需要表示其尾数和指数。指数使用阶码(移码)来表示，尾数表达均以0.1开头，因此只存储0.1后的数字，这样可以增加表示的范围。例如在32位浮点数中，用8位移码(bias=$2^{8-1}=128$)表示指数，则$33.25=(0.10000101{)}_2\times 2^6$中指数可存储为$6+128=134=(10000110{)}_2$，的尾数部分存储为$(00001010000000000000000{)}_2$。

0(符号位)	1~8(阶)	9~31(尾数)
0	10000110	00001010000000000000000

  上述存储模型中移码范围$[(00000000{)}_2,(11111111{)}_2]$，实际表示范围为[-128,127]。尾数的表示范围$[(0.10...0{)}_2,(0.11...1{)}_2]$，即$[2^{-1},2^0-2^{-24}]$。所以该模型能表达的最大正数0.11…1$\times 2^{11...1}=(1-2^{-24})\times 2^{127}$,最小正数0.10…0$\times 2^{00...0}=\frac{1}{2}\times 2^{-128}=2^{-129}$。

  浮点数的范围比定点数的范围大，但是同样位数能编码的数个数相同，因此浮点数表达的数之间稀疏且不均匀。阶数决定了浮点数的表达范围，尾数决定了浮点数的而表达精度。

  以32位浮点数为例，在$[2^1,2^2]$和$[2^2,2^3]$之间数的个数相同，都为$2^{23}$个(由尾数的可能情况确定)，但是两者的区间长度分别为2和4，所以数字在$[2^1,2^2]$的分步比在$[2^2,2^3]$的分步密集。推广可知：越靠近上溢区，数字分步越稀疏。

  浮点数表达个数有限，部分实数可以编码表示，其他不能编码表示的实数则用最近的可表达数来代替表示。例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	float num;
	cout.setf(ios::fixed,ios::floatfield);
	while(1)
	{
		cout<<"input:";
		cin>>num;
		cout<<num<<endl;
	}
	return 0;
}

运行结果如下：

input:61.419997
61.419998
input:61.419998
61.419998
input:61.419999
61.419998
input:61.42
61.419998
input:61.420001
61.420002

  由于61.419998和61.420002是两个可表达数，当输入的数据是一个不可表达数时，机器将其转化为最邻近的可表达数。

  但是同一个数可以用多种形式表达，例如$33.25=(0.10000101{)}_2\times 2^6=(1.0000101{)}_2\times 2^5=\cdot \cdot \cdot$这样不利于数据的传输和程序的移植，因此出现了IEEE 754标准。IEEE 754规定的规格化数形如：+/- $(1.XXXXXXX{)}_2\times 2^E$，其中尾数的1可不存储。IEEE 754规定了单精度浮点数(32 bit)和双精度浮点数(64 bit):

  1.单精度浮点数

• 存储模型

S	Exponent	Significand
0	1~8	9~31
1 bit	8 bit	23 bit

• 阶 $[(00000001{)}_2,(11111110{)}_2]$即[-126,127]；bias=127
• 尾数 最高位总为1，可以隐含表示。存储23位，可表示24位的定点小数。
• 真值: $(-1{)}^S\times (1+Significand)\times 2^{Exponent-127}$
• 规格化数表达范围：

  最小正数：$(1.00...00{)}_2\times 2^{00..01}=2^{-126}$

  最大正数：$(1.11...1{)}_2\times 2^{11...10}=(2-2^{-23})\times 2^{127}=(1-2^{-24})\times 2^{128}$

  因此，规范化数的表达范围$[-(1-2^{-24})\times 2^{128},-2^{-126}]\cup [2^{-126},(1-2^{-24})\times 2^{128}]$

---

例1： 已知float型变量x的机器数为0xBEE00000,求x的值。

0xBEE00000=$(10111110111000000000000000000000{)}_2$

1	01111101(125)	11000000000000000000000

真值为$(-1{)}^1\times (1+2^{-1}+2^{-2})\times 2^{-2}=-1.75\times 2^{-2}=-0.4375$

步骤：

• 1.在二进制表达式中提取表达阶和尾数的部分；
• 2.利用公式分别求出阶和尾数的十进制数；

例2： 已知float型变量x的值为-12.75，求x的机器数。

$-12.75=-1100.11B=-1.10011B\times 2^3$

阶$E=3+127=130=(10000010{)}_2$

尾数$Significand=(100110...0{)}_2$

1	10000010	10011000000000000000000

所以机器数为11000001010011000000000000000000

步骤：

• 1.写出浮点数的二进制表达式；
• 2.转化为规格化形式；
• 3.分别求出阶和尾数的表示；

---

  2.双精度浮点数

• 存储模型

S	Exponent	Significand
0	1~11	12~63
1 bit	11 bit	52 bit

• 阶 $[(00000000001{)}_2,(11111111110{)}_2]$即[-1022,1023]；bias=1023
• 尾数 最高位总为1，可以隐含表示。存储52位，可表示53位的定点小数。
• 真值:$(-1{)}^S\times (1+Significand)\times 2^{Exponent-1023}$
• 规格化数表达范围：

  最小正数：$(1.00...00{)}_2\times 2^{00..01}=2^{-1022}$

  最大正数：$(1.11...1{)}_2\times 2^{11...10}=(2-2^{-52})\times 2^{1023}=(1-2^{-53})\times 2^{1024}$

  因此，规格化数的表达范围$[-(1-2^{-53})\times 2^{1024},-2^{-1022}]\cup [2^{-1022},(1-2^{-53})\times 2^{1024}]$

  除上述的规格化数外，浮点数还可以表示一些特殊的约定值及非规格化数。

以float型为例：

Signed	Exponent	Significand	Value
X	0	0	+/- 0
X	0	nonzero	Denorms
X	1-254	XX...X	Norms
X	255	0	+/- Infinity
X	255	nonzero	NaN

• 0的表示:阶和尾数全为0时表示真值0.

  +0:$00000000000000000000000000000000$

  -0:$10000000000000000000000000000000$

• $+/-\infty$的表示：阶全为1，尾数全为0

  $+\infty :01111111100000000000000000000000$

  $-\infty :11111111100000000000000000000000$

  例如：$\frac{1.0}{0}=+\infty$  $\frac{-1.0}{0}=-\infty$  $1+(+\infty )=+\infty$  $1+(-\infty )=-\infty$  $+\infty +(+\infty )=+\infty$  $-\infty -(+\infty )=-\infty$

• NaN(Not a Number)的表示：阶全为1，尾数不全为0

  例如：$\sqrt{-4.0}=NaN$  $\frac{0}{0}=NaN$  $\frac{\infty }{\infty }=NaN$  $+\infty -(+\infty )=NaN$  $+\infty +(-\infty )=NaN$

• 非规格化数(Denorms)的表示：阶全为0，尾数不全为0

  形式：$(-1{)}^S\times 0.XX...X\times 2^{-126}$

  范围：$[-(1-2^{-23})\times 2^{-126},0)\cup (0,(1-2^{-23})\times 2^{-126}]$ 位于下溢区。

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