举个例子，简单说说如何推导IIR滤波器和FIR滤波器的参数

前言

最近看这两个滤波器设计嘛，就试着来写一下

主要从双线性变换，z变换，然后举一个例子来进行一下滤波器的设计。

例子

我们考虑传递函数如下的low pass filter

IIR滤波器

脉冲响应不变法

考虑这个传递函数$H(s)=\frac{w_0^2}{s^2+\frac{w_0}{Q}s+w_0^2}$

为了更好地将H(s)拆分开来，我们考虑分母的因式分解

假设$H(s)$存在两个根，解一元二次方程，有:

$$p_{1,2}=-\frac{w_0}{2Q}\pm \sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$$

为了方便计算，我们记

$$\alpha =-\frac{w_0}{2Q}$$

$$\beta =w_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$$

因此我们知道

$$p_1=\alpha +j\beta$$

$$p_2=\alpha -j\beta$$

那我们的H(s)此时变成了:

$$H(s)=\frac{w_0^2}{(s-p_1)(s-p_2)}$$

我们假设这个式子可以展开，那么我们可以得到H(s)如下：

$$H(s)=\frac{A}{s-p1}+\frac{B}{s-p_2}$$

这里A和B是待定的，我们有

$$\frac{w_0^2}{(s-p_1)(s-p_2)}=\frac{A}{s-p_1}+\frac{B}{s-p_2}$$

这里我们其实可以计算出来，两边同时乘以分母，就有

$$A(s-p_2)+B(s-p_1)=w_0^2$$

求得A和B如下：

A=w02p1−p2B=w02p2−p1 A = \frac{w_0^2}{p_1-p_2} \\ B=\frac{w_0^2}{p_2-p_1} A=p1​−p2​w02​​B=