IIR滤波器(2)

上一篇文章中我们讲到了IIR数字滤波器的直接Ⅰ型和直接Ⅱ型(典范型)。通过对传递函数的进一步变形,我们还可以将IIR滤波器变为级联型和并联型。

级联型

上文中提到,IIR滤波器的系统传递函数为:

H(z)=∑k=0Nbkz−k1−∑k=1Nakz−k; H(z) = \frac{\sum_{k=0}^Nb_kz^{-k}}{1-\sum_{k=1}^Na_kz^{-k}}; H(z)=1k=1Nakzkk=0Nbkzk;

我们发现,在此式中,分子分母均为多项式,因此进行因式分解后可将传递函数变为:

H(z)=A∏r=1M(1−crz−1)∏r=1N(1−drz−1); H(z) = A\frac{\prod_{r=1}^M(1-c_rz^{-1})}{\prod_{r=1}^N(1-d_rz^{-1})}; H(z)=Ar=1N(1drz1)r=1M(1crz1);

其中AAA是常数,crc_rcrdrd_rdr表示H(z)H(z)H(z)的零点和极点,由于原多项式的系数是实数,因此crc_rcrdrd_rdr是实数或共轭成对的复数。

将共轭复数对放在一起,形成一个二阶多项式,其系数仍然为实数。再将分子分母均为实系数的二阶多项式放在一起,形成一个二阶网络Hj(z)H_j(z)Hj(z)

Hj(z)=β0j+β1jz−1+β2jz−21−α1jz−1−α2jz−2; H_j(z) = \frac{\beta_{0j}+\beta_{1j}z^{-1}+\beta_{2j}z^{-2}}{1-\alpha_{1j}z^{-1}-\alpha_{2j}z^{-2}}; Hj(z)=1α1jz1α2jz2β0j+β1jz1+β2jz2;

这样就可以将H(z)H(z)H(z)拆分成若干个一阶或二阶子系统的乘积形式:

H(z)=H1(z)H2(z)⋅⋅⋅Hk(z); H(z) = H_1(z)H_2(z)···H_k(z); H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z);

每个Hi(z)H_i(z)Hi(z)都采用直接型网络结构。

并联型

同样的,如果将级联型形式的系统函数H(z)H(z)H(z)展成多个分式的和的形式,则可得到:

H(z)=H1(z)+H2(z)+⋅⋅⋅+Hk(z); H(z) = H_1(z)+H_2(z)+ ··· +H_k(z); H(z)=H1(z)+H2(z)++Hk(z);
其中,

Hi=β0j+β1jz−11−α1jz−1−α2jz−2; H_i =\frac{\beta_{0j}+\beta_{1j}z^{-1}}{1-\alpha_{1j}z^{-1}-\alpha_{2j}z^{-2}}; Hi=1α1jz1α2jz2β0j+β1jz1;
则其输出为:

Y(z)=H1(z)X(z)H2(z)X(z)+⋅⋅⋅+Hk(z)X(z); Y(z) = H_1(z)X(z)H_2(z)X(z)+···+H_k(z)X(z); Y(z)=H1(z)X(z)H2(z)X(z)++Hk(z)X(z);

四种常见形式IIR滤波器的比较

  1. 直接型:优点:由传递函数直接得出,较为直观,结构简单,Ⅱ型采用的延迟器较少;缺点:系数aka_kakbkb_kbk对滤波器性能的控制关系不直接,调整滤波器参数不方便。在实现滤波器时,aka_kakbkb_kbk的量化误差将使得滤波器的频率响应产生很大的改变,甚至影响系统的稳定性。直接型结构一般适用于低阶系统。

  2. 级联型:级联型结构中每一个一阶网络对应一个零点、一个极点,每个二阶网络对应一对零点,一对极点。在式中,调整β0j\beta_{0j}β0jβ1j\beta_{1j}β1jβ2j\beta_{2j}β2j三个系数可以改变一对零点的位置,调整α1j\alpha_{1j}α1jα2j\alpha_{2j}α2j可以改变一对极点的位置。因此相较直接型结构,级联型调整方便。此外级联型结构后面的网络输出不会再流入前面,运算误差累积相对直接型较小。

  3. 并联型:在并联型结构中,每一个一阶网络对应一个极点,每一个二阶网络对应一对共轭极点,因此调整极点方便,但调整零点位置不如级联型方便。此外,因为各基本网络采用并联形式,产生的运算误差不会相互影响,不会像直接型和级联型那样有累积误差,因此误差最小。从运算速度来讲,因为采用并联结构,可同时对输入信号进行运算,因此并联型的运算速度最高

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