IIR滤波器（2）

上一篇文章中我们讲到了IIR数字滤波器的直接Ⅰ型和直接Ⅱ型（典范型）。通过对传递函数的进一步变形，我们还可以将IIR滤波器变为级联型和并联型。

级联型

上文中提到，IIR滤波器的系统传递函数为：

$$H(z)=\frac{{\sum }_{k=0}^N{b}_k{z}^{-k}}{1-{\sum }_{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}};$$

我们发现，在此式中，分子分母均为多项式，因此进行因式分解后可将传递函数变为：

$$H(z)=A\frac{{\prod }_{r=1}^M(1-c_r{z}^{-1})}{{\prod }_{r=1}^N(1-d_r{z}^{-1})};$$

其中$A$是常数，$c_r$和$d_r$表示$H(z)$的零点和极点，由于原多项式的系数是实数，因此$c_r$和$d_r$是实数或共轭成对的复数。

将共轭复数对放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍然为实数。再将分子分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络$H_j(z)$。

$$H_j(z)=\frac{{\beta }_{0j}+{\beta }_{1j}{z}^{-1}+{\beta }_{2j}{z}^{-2}}{1-{\alpha }_{1j}{z}^{-1}-{\alpha }_{2j}{z}^{-2}};$$

这样就可以将$H(z)$拆分成若干个一阶或二阶子系统的乘积形式：

$$H(z)=H_1(z)H_2(z)\cdot \cdot \cdot H_k(z);$$

每个$H_i(z)$都采用直接型网络结构。

并联型

同样的，如果将级联型形式的系统函数$H(z)$展成多个分式的和的形式，则可得到：

$$H(z)=H_1(z)+H_2(z)+\cdot \cdot \cdot +H_k(z);$$
其中，

$$H_i=\frac{{\beta }_{0j}+{\beta }_{1j}{z}^{-1}}{1-{\alpha }_{1j}{z}^{-1}-{\alpha }_{2j}{z}^{-2}};$$
则其输出为：

$$Y(z)=H_1(z)X(z)H_2(z)X(z)+\cdot \cdot \cdot +H_k(z)X(z);$$

四种常见形式IIR滤波器的比较

1. 直接型：优点：由传递函数直接得出，较为直观，结构简单，Ⅱ型采用的延迟器较少；缺点：系数$a_k$、$b_k$对滤波器性能的控制关系不直接，调整滤波器参数不方便。在实现滤波器时，$a_k$、$b_k$的量化误差将使得滤波器的频率响应产生很大的改变，甚至影响系统的稳定性。直接型结构一般适用于低阶系统。

2. 级联型：级联型结构中每一个一阶网络对应一个零点、一个极点，每个二阶网络对应一对零点，一对极点。在式中，调整${\beta }_{0j}$、${\beta }_{1j}$和${\beta }_{2j}$三个系数可以改变一对零点的位置，调整${\alpha }_{1j}$和${\alpha }_{2j}$可以改变一对极点的位置。因此相较直接型结构，级联型调整方便。此外级联型结构后面的网络输出不会再流入前面，运算误差累积相对直接型较小。

3. 并联型：在并联型结构中，每一个一阶网络对应一个极点，每一个二阶网络对应一对共轭极点，因此调整极点方便，但调整零点位置不如级联型方便。此外，因为各基本网络采用并联形式，产生的运算误差不会相互影响，不会像直接型和级联型那样有累积误差，因此误差最小。从运算速度来讲，因为采用并联结构，可同时对输入信号进行运算，因此并联型的运算速度最高。