【LeetCode】动态规划—279. 完全平方数（附完整Python/C++代码）

题目描述

前言

完全平方数问题 是一个经典的动态规划问题。给定一个正整数 n，要求将其表示为若干个完全平方数的和，且要求这些完全平方数的数量最少。例如：12 = 4 + 4 + 4，因此 12 可以表示为 3 个完全平方数的和。

我们可以利用动态规划的思想，逐步构建出最优解，即找到使得 n 表示为最少的完全平方数的方案。

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基本思路

1. 问题定义

给定一个正整数 n，要求将其分解为若干个完全平方数的和，并且完全平方数的数量最少。输出最少的完全平方数数量。

举例：

• 输入：n = 12

• 输出：3，因为 12 = 4 + 4 + 4

• 输入：n = 13

• 输出：2，因为 13 = 4 + 9

2. 理解问题和递推关系

核心思路：

对于给定的 n，我们可以依次减去某个完全平方数，剩余的部分继续递归地寻找最优解。我们需要找到所有完全平方数中的最小组合。

动态规划状态定义：

1. dp[i]：表示数字 i 能够表示为若干个完全平方数和的最小数量。
2. 状态转移方程：
   • 对于每个 i，我们可以尝试用一个平方数 j^2 来减少 i，即：
     $$dp[i]=\min (dp[i],dp[i-j^2]+1)$$
   • 其中，j 是满足 j^2 <= i 的所有平方数。

状态转移思路：

• 对于每个整数 i，我们可以枚举所有小于 i 的平方数 j^2，并通过递归减少问题的规模。例如：
  $$dp[i]=\min (dp[i-1^2]+1,dp[i-2^2]+1,dp[i-3^2]+1,\dots )$$

边界条件：

• dp[0] = 0：数字 0 可以表示为 0 个完全平方数。

3. 解决方法

动态规划方法

1. 初始化：创建一个数组 dp，其中 dp[i] 表示数字 i 的最少完全平方数表示数量。
2. 状态转移：对于每个数字 i，枚举小于 i 的所有平方数，并根据转移方程更新 dp[i]。
3. 返回结果：最终 dp[n] 即为数字 n 的最少完全平方数表示数量。

伪代码：

initialize dp array with dp[0] = 0
for i from 1 to n:
    for j from 1 to sqrt(i):
        dp[i] = min(dp[i], dp[i - j^2] + 1)
return dp[n]

4. 进一步优化

• 时间复杂度：时间复杂度为 O(n * sqrt(n))，因为对于每个 i，我们要枚举小于 i 的平方数。
• 空间复杂度：空间复杂度为 O(n)，因为我们需要存储数组 dp。

5. 小总结

• 递推思路：通过动态规划，从小到大构建 dp 数组，每个 i 的值可以通过前面的平方数和的最优解来确定。
• 时间复杂度：时间复杂度为 O(n * sqrt(n))，空间复杂度为 O(n)，适合处理中等规模的输入。

以上就是完全平方数问题的基本思路。

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Python代码

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # 初始化dp数组，dp[i]表示数字i的最少完全平方数数量
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        dp[0] = 0  # 数字0可以表示为0个完全平方数
        
        # 动态规划计算
        for i in range(1, n + 1):
            # 枚举所有小于i的平方数
            for j in range(1, int(math.sqrt(i)) + 1):
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
        
        return dp[n]  # 返回数字n的最少完全平方数数量

Python代码解释

1. 初始化：定义一个 dp 数组，dp[i] 表示数字 i 的最少完全平方数数量，初始值设为正无穷，dp[0] = 0。
2. 动态规划递推：通过枚举小于 i 的所有平方数，更新 dp[i]。
3. 返回结果：最终 dp[n] 即为最少完全平方数的数量。

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C++代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        // 初始化dp数组，dp[i]表示数字i的最少完全平方数数量
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;  // 数字0可以表示为0个完全平方数
        
        // 动态规划计算
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            // 枚举所有小于i的平方数
            for (int j = 1; j * j <= i; ++j) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        
        return dp[n];  // 返回数字n的最少完全平方数数量
    }
};

C++代码解释

1. 初始化：定义 dp 数组，dp[i] 表示数字 i 的最少完全平方数数量，初始值为 INT_MAX，dp[0] = 0。
2. 动态规划递推：通过枚举每个数字 i，并计算小于 i 的所有平方数的组合，更新 dp[i]。
3. 返回结果：最终返回 dp[n]，即最少的完全平方数数量。

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总结

• 核心思路：利用动态规划，自底向上构建 dp 数组，逐步求解每个数字 i 的最少完全平方数表示。
• 时间复杂度：时间复杂度为 O(n * sqrt(n))，适合处理中等规模的 n。
• 空间复杂度：空间复杂度为 O(n)，因为我们需要维护一个大小为 n+1 的数组。