练习题-15

原创已于 2024-03-22 12:16:09 修改 · 964 阅读

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于 2024-03-22 12:13:16 首次发布

文章讨论了如何利用Fourier展开和Parseval等式求解给定周期为2π的偶函数f(x)的平方的积分。通过计算系数a0、an和bn，得出结果A=7/3π。另一种方法是通过复数指数形式表示cos(nx)，简化f(x)表达式后求积分。

问题：设函数 $f(x)=∑n=0∞cos⁡(nx)2nf(x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\cos (nx)}{2^n}$ . 求 $A=∫02πf2(x)dxA=\int_0^{2\pi} f^2(x) dx$ .

解：把 $f$ 看成是某个周期 $2π2\pi$ 的偶函数的Fourier展开，用Parseval等式 $12π∫02πf2(x)dx=a02+12∑n=1∞(an2+bn2).\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f^2(x) dx = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2).$

此处 $a_0=1, a_n = 2^{-n}, b_n=0$ . 容易得到 $∑n=1∞an2=∑n=1∞4−n=13\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} 4^{-n} = \frac{1}{3}$ . 所以 $A=2π(1+12⋅13)=73πA=2\pi(1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3})=\frac{7}{3}\pi$ .

另解：由于 $e^{inx}=\cos n x + i \sin nx$ , 所以 $cos⁡nx=einx+e−inx2\cos nx = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}$ . 由此求出 $f(x)=Re∑n=0∞einx2n=4−2cos⁡x5−4cos⁡xf(x)=\mathrm{Re} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{inx}}{2^n} = \frac{4-2\cos x}{5-4\cos x}$ . 再直接计算定积分即可求出 $A$ .