文章讨论了给定满足特定条件的二阶实矩阵X，通过其极小多项式分析迹tr(X)。若极小多项式为(t-1)，则X为单位矩阵，迹为2；若为t^2+t+1，则有共轭复特征值λ和λˉ，迹为-1。Cayley-Hamilton定理在此问题中起到关键作用。
已知二阶实矩阵XXX满足X3=IX^3=IX3=I. 求XXX的迹trXXX.
解：XXX满足t3=1t^3=1t3=1. 故f(t)=(t−1)(t2+t+1)f(t)=(t-1)(t^2+t+1)f(t)=(t−1)(t2+t+1)是XXX的极小多项式的倍式。如果XXX的极小多项式是t−1t-1t−1, 那么X=IX=IX=I, 迹为222；如果XXX的极小多项式是t2+t+1t^2+t+1t2+t+1, 那么XXX有一对共轭复特征值λ,λˉ\lambda, \bar{\lambda}λ,λˉ. 此时trX=λ+λˉ=−1X=\lambda + \bar{\lambda}=-1X=λ+λˉ=−1. 可以证明没有其它情况了，因为XXX是二阶的，根据Cayley-Hamilton定理，XXX的极小多项式次数最多为222.
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