练习题-9

问：是否有可微函数$g(x):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 满足$g(g(x))=x^2-3x+3$?

解：不存在。反证法。假设有这样的$g$, 先求$x^2-3x+3=x$得到$x=1,3$. 设$g(1)=a$. 则在题目所给的条件（等式）两边代入$x=1$, 得：$$g(g(1))=g(a)=1$$.

再在等式中代入$x=a$, 得：$$g(g(a))=g(1)=a$$. 所以$a$也是$g\circ g$的不动点。故$a=1,3$.

在题目条件两边对$x$求导，得到$$g^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=2x-3\text{\hspace{1em}(*)}$$.

如果$a=1$, 则上式$(\ast )$中代入$x=1$, 得: $$(g^{\prime }(1){)}^2=-1$$, 这不可能。

如果$a=3$, 则在等式$(\ast )$中代入$x=1$, 得$g^{\prime }(3)g^{\prime }(1)=-1$, 而代入$x=3$, 则得$g^{\prime }(1)g^{\prime }(3)=3$. 矛盾.

所以满足题意的可微函数$g$不存在。