练习题-6

问题：当实数$\lambda$改变时. 方程$x^2+y^2-1-\lambda y=0$是怎样的曲线？

解：配方得$x^2+(y-\frac{\lambda }{2}{)}^2=1+\frac{{\lambda }^2}{4}$. 这是圆心在$(0,\frac{\lambda }{2})$, 半径为$(1/2)\cdot \sqrt{4+{\lambda }^2}$的圆.

不难看出，不管$\lambda$取什么值，这些圆都通过$(1,0),(-1,0)$, 而这两个点是圆$x^2+y^2-1=0$与$x$-轴（即直线$y=0$)的交点。所以，

命题：设$F(x,y)=0$是平面上一个圆$C$。直线$ax+by+c=0$与圆$C$相交（包括相切）于点$A,B$. 那么方程$$F(x,y)+\lambda (ax+by+c)=0$$
表示所有过$A,B$的圆.