20、傅里叶变换：连续与离散的深入解析

傅里叶变换：连续与离散的深入解析

1. 连续傅里叶变换

1.1 对数极坐标表示下的功率谱

在对数极坐标表示中，需要考虑与 (k^2) 成正比的单元面积增加：
[
\int_{-\infty}^{\infty} |\hat{g}(k)|^2 dk_1 dk_2 = \int_{-\infty}^{\infty} k^2|\hat{g}(k)|^2 d \ln k d\phi
]
这使得对数极坐标表示中的功率谱 (|\hat{g}(k)|^2) 乘以 (k^2) 后，其衰减比笛卡尔表示中要平缓得多。对数极坐标系统的表示更便于评估空间结构的方向和小尺度特征。而且，尺度或方向的变化在对数极坐标表示中仅表现为信号的平移。

1.2 一维连续傅里叶变换

• 定义 ：若 (g(x) : R \to C) 是平方可积函数，即 (\int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx < \infty)，则 (g(x)) 的傅里叶变换 (\hat{g}(k)) 为：
  [
  \hat{g}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \exp (-2\pi ikx) dx
  ]
  其逆傅里叶变换为：
  [
  g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{g}(k) \exp (2\pi ikx) dk
  ]
• 算子表示 ：使用算子符号，傅里叶变换及其逆变换可简单表示为 (\hat{g}(k) = Fg(x