20、离散傅里叶变换（DFT）的深入解析与应用

离散傅里叶变换（DFT）的深入解析与应用

1. 离散傅里叶变换基础

离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理中的重要工具，它将时域信号转换为频域表示。下面我们将探讨DFT的一些基本概念和相关操作。

1.1 序列的上采样与DFT

若对序列 (x(n)) 进行2倍上采样（即时间上拉伸2倍，并在每个样本间插入零）得到 (y_3(n))，其 (z) - 变换对应特定形式，2 (N) 点DFT的系数 (Y_3(k)) 对应系数 (X(k)) 的两个周期。

1.2 DTFT采样

设 (h(n)) 是长度为 (N) 的有限长序列（(n < 0) 和 (n > N) 时 (h(n) = 0)），对其离散时间傅里叶变换（DTFT）在 (3N) 个等间隔点采样得到 (H(k))，求其逆DFT序列 (g(n))。由于 (h(n)) 可从其 (N) 点DFT恢复，将其视为长度为 (3N) 的序列（后 (2N) 个样本值为零），则 (g(n)) 为：
[
g(n) =
\begin{cases}
h(n), & n = 0, 1, \cdots, N - 1 \
0, & \text{else}
\end{cases}
]

1.3 序列的采样与DFT

考虑有限长序列 (x(n) = [1, 1, 1, 1, 1, 1])，对其 (z) - 变换 (X(z)) 在 (z_k = \exp(j\frac{\pi}{2}k))（(k = 0, 1, 2, 3)）采样得到DFT系数 (X(k))，求具有四点DFT等于这些样本的序