15、反常输运的分数阶扩散模型

反常输运的分数阶扩散模型

1. 连续时间随机游走模型与分数阶扩散

在各向同性充分发展的湍流中，示踪剂的运动可以用布朗随机游走来很好地描述。然而，当存在相干结构时，如在旋转环实验中，就需要一个更丰富的模型来描述示踪剂的运动，这个模型要能够包含涡旋的捕获效应以及纬向流引起的跳跃。连续时间随机游走（CTRW）模型就是对这类反常输运的自然描述。

CTRW描述了一组粒子，它们在时间 $\tau_1, \tau_2, \cdots, \tau_i \cdots$ 经历大小为 $x_1, x_2, \cdots, x_i \cdots$ 的位移或跳跃。等待时间 $t_i = \tau_i - \tau_{i - 1}$ 和跳跃 $x_i$ 分别是从等待时间概率密度函数 $\psi(t)$ 和跳跃概率密度函数 $\eta(x)$ 中抽取的随机变量。该模型从两个方面推广了布朗游走：
- 与布朗随机游走假设粒子在离散的固定时间间隔跳跃不同，CTRW模型允许包含等待时间。
- CTRW模型允许使用具有发散矩的一般非高斯跳跃分布函数来解释 Lévy 飞行。

给定 $\psi$ 和 $\eta$，示踪剂在位置 $x$ 和时间 $t$ 被找到的概率由 Montroll - Weiss 方程确定：
[P(x, t) = \delta(x) \int_{t}^{\infty} \psi(t’) dt’ + \int_{0}^{t} \psi(t - t’) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \eta(x - x’) P(x’, t’) dx’ \right) dt’]
方程右边第一项是在时间间隔 $(0, t)$ 内未移动的粒子对 $P$ 的贡