18、分数扩散模型与反常动力学中的弱遍历性破缺

分数扩散模型与反常动力学中的弱遍历性破缺

分数扩散模型在反常输运中的应用

在研究反常输运现象时，分数扩散模型展现出了独特的优势。反常输运的特点在于统计矩（如均值和方差）的时间演化具有反常标度性，并且存在具有缓慢衰减尾部的非高斯概率密度函数（PDF）。以具有涡旋和纬向流的流场中被动示踪剂的输运为例，这些相干结构对输运有着显著影响。实验、混沌平流模型和湍流输运直接数值模拟都表明，涡旋的捕获效应和纬向流的平流效应通常会导致反常输运。

传统的菲克定律假设通量与被输运标量的梯度之间存在局部关系，即 $q = -χ∂xT$。然而，等离子体物理学中的数值、理论和实验研究表明，这种局部性假设的适用性有限，在磁约束聚变等离子体的微扰输运实验中尤为明显。

分数扩散模型涉及分数阶导数，这是一种积分 - 微分算子，能够在统一框架下描述非菲克输运、非马尔可夫（“记忆”）效应和非扩散标度。与其他可能用于描述非局部和非马尔可夫输运的积分 - 微分算子相比，分数阶导数具有诸多优势：
- 形式上 ：分数阶微积分提供了一个完善的数学框架，便于对反常输运进行深入的分析研究。
- 数值计算 ：有高效且准确的算法来计算分数阶导数，并对分数扩散方程进行数值积分。
- 物理层面 ：分数阶算子与非高斯随机过程密切相关，分数扩散模型自然地作为非布朗随机行走在连续极限下的宏观输运模型出现，其自相似性和标度性质能够自然地描述反常输运中观察到的非扩散标度。

在构建湍流中被动标量输运的有效模型时，当湍流充分发展、均匀且各向同性时，基于高斯统计假设的平流 - 扩散模型可以使用有