9、连续时间随机游走、Mittag - Leffler等待时间与分数阶扩散

连续时间随机游走、Mittag - Leffler等待时间与分数阶扩散

1. 连续时间随机游走（CTRW）

连续时间随机游走（CTRW）是一种用于模拟扩散过程的有效模型，涵盖了反常输运等过程，可在经典更新理论的框架内理解。

1.1 CTRW的生成机制

一个一维空间的CTRW由两组独立的随机序列生成：
- 一组独立同分布（iid）的正随机等待时间序列 (T_1, T_2, T_3, \cdots)，每个等待时间具有相同的概率密度函数 (\varphi(t))（(t > 0)）。
- 一组独立同分布的随机跳跃序列 (X_1, X_2, X_3, \cdots)，每个跳跃具有相同的概率密度 (w(x))（(x \in R)）。

设 (t_0 = 0)，(t_n = T_1 + T_2 + \cdots + T_n)（(n \in N)），粒子在时刻 (t_n) 进行长度为 (X_n) 的跳跃。其位置满足：当 (0 \leq t < T_1 = t_1) 时，(x_0 = 0)；当 (t_n \leq t < t_{n + 1}) 时，(x_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n)。

1.2 概率密度的积分方程

通过自然的概率推导，可得到粒子在时刻 (t) 位于点 (x) 的概率密度 (p(x, t)) 的积分方程：
[p(x, t) = \delta(x) \Psi(t) + \int_{0}^{t} \varphi(t - t’) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} w(x - x’) p(x’, t’) dx’ \righ