12、莱维飞行理论介绍

莱维飞行理论介绍

在随机过程的研究中，莱维飞行是一种具有独特性质的随机运动，与常见的高斯随机行走有显著区别。本文将深入探讨莱维飞行的相关理论，包括其基本特性、动态方程以及在不同场景下的统计性质。

1. 莱维飞行的基本特性

当取 $\psi(\tau) = \delta (\tau - \tau_0)$ 为尖锐峰值，而 $\lambda(\xi)$ 为指数 $0 < \alpha < 2$ 的莱维稳定形式时，所得到的过程是马尔可夫过程，但具有发散的方差。分数阶矩的标度关系为：
[
\langle|x(t)|^q\rangle \propto (K_{\alpha}t)^{q/\alpha}
]
其中 $K_{\alpha} = \sigma_{\alpha}/\tau_0$。通过对分数阶矩进行重新标度 $\langle|x(t)|^q\rangle^{2/q} \propto (K_{\alpha}t)^{2/\alpha}$，可以看出其“超扩散”特性。在连续时间随机行走框架内，实际的超扩散需要引入有限速度并使用莱维行走过程。

相关概率密度函数（PDF）的傅里叶变换为：
[
f (k, t) = \exp\left(-K_{\alpha} |k|^{\alpha} t\right)
]
这是指数为 $\alpha$ 的对称莱维稳定 PDF 的特征函数，这种随机行走过程被称为莱维飞行。其特征函数在时间上具有规则的指数弛豫，莱维飞行过程实际上是马尔可夫过程。位置空间中的 PDF 不像高斯或亚扩散情况那样尖锐局域化，并且具有发散的方差。莱维飞行轨迹具有分形维数 $d_f = \alpha$，其轨迹