11、莱维飞行理论介绍

莱维飞行理论介绍

1. 莱维飞行概述

莱维飞行是马尔可夫随机过程，其单个跳跃长度由概率密度函数（PDF）λ(x) 分布，在大 x 时，λ(x) 近似按 λ(x) ≃|x|−1−α 衰减，其中 0 < α < 2。由于其方差发散，即 $\langle x^2(t) \rangle \to \infty$，可能会出现极长的跳跃，典型轨迹具有自相似性，在所有尺度上都表现为短跳跃簇与长偏移相间。实际上，莱维飞行的轨迹分形维数 $d_f = α$。

类似于独立同分布（iid）且方差有限的随机变量在中心极限定理下收敛于高斯分布，莱维稳定分布是方差发散的 iid 随机变量的极限分布。从这个意义上说，高斯分布是广义中心极限定理在 α = 2 时的特殊情况。

在自然界中，许多可测量的量遵循莱维统计规律：
- 古气候时间序列表现出明显的莱维噪声特征。
- 细菌和高等动物的觅食行为依赖于莱维分布的偏移长度，与布朗搜索相比，这种分布优化了搜索过程，避免了在一维和二维空间中的过度采样。
- 在聚合物的跳跃过程中，由于化学上遥远的片段通过环化在嵌入空间中紧密接触，在退火极限下会出现莱维飞行。
- 疾病的传播由于远程地理位置通过航空交通的高度连接性，涉及莱维旅行长度，从而导致疾病在全球范围内快速传播。
- 对一美元纸币的广泛追踪揭示了莱维统计规律。
- 在一维光学晶格中单个离子位置的研究中，记录到了莱维统计的特征，其中动能出现了发散的波动。
- 单分子与双能级系统通过长程相互作用在能量空间中出现莱维飞行。
- 在玻璃形成体中的随机单分子线形中识别出了莱维统计。
- 在经济领域，莱维统计支配着交易的分布。此外，