8、随机过程、Mittag-Leffler等待时间与分数阶扩散的深入剖析

随机过程、Mittag-Leffler等待时间与分数阶扩散的深入剖析

1. 无限矩随机过程

在随机过程中，当 (q > \lambda) 时，一阶矩是无限的，其表达式为：
(\langle t\rangle = \frac{1 - q}{q}\sum_{j = 1}^{\infty}(\frac{q}{\lambda})^j = \infty)
这里不进行梅林变换分析，而是关注以下标度行为：
(\psi^ (s) = q\psi^ (\frac{s}{\lambda}) + \frac{\lambda(1 - q)}{s + \lambda})
其解的主导项为：
(\psi^ (s) \propto 1 - s^{\alpha} + O(s))，其中 (\alpha = \frac{\ln q}{\ln \lambda})
这意味着在长时间情况下，有 (\psi(t) \propto t^{-1 - \alpha})。
如果 (\alpha > 1)，一阶矩存在，且 (s) 项主导 (s^{\alpha}) 项，所以时间的上临界维度为 1。
(\frac{1}{1 - \psi^ (s)}) 的行为如下：
(\frac{1}{1 - \psi^*(s)} \approx
\begin{cases}
s^{-\alpha}, & \langle t\rangle = \infty \
(s\langle t\rangle)^{-1}, & \langle t\rangle < \infty
\end{cases})