10、连续时间随机游走、Mittag - Leffler等待时间与分数阶扩散

连续时间随机游走、Mittag - Leffler等待时间与分数阶扩散

1. 演化方程的联系

在理论中，四个演化方程存在着紧密的联系：
- 当记忆函数 $H(t) = H_{ML}(t)$ 时，方程 (I) 可转化为方程 (II)，方程 (III) 可转化为方程 (IV)。
- 在等待时间满足幂律假设的情况下，通过对底层更新过程进行重新缩放和重新加速操作，可渐近实现上述转化。
- 当跳跃满足幂律假设时，仅在空间上进行扩散极限过渡，可实现从方程 (I) 到方程 (III) 以及从方程 (II) 到方程 (IV) 的渐近转化。
- 在时间和空间均满足幂律假设时，通过良好缩放的扩散极限过渡，可直接从方程 (I) 得到方程 (IV)，此时条件 (4.68) 起关键作用。

2. 时间分数阶漂移过程

2.1 过程的构建

将Mittag - Leffler更新过程视为连续时间随机游走（CTRW），其计数函数 $N$ 作为空间变量 $x$。跳跃宽度密度 $w(x) = \delta(x - 1)$，等待时间密度为：
$\varphi(t) = \varphi_{ML}(t) = -\frac{d}{dt} E_{\beta}(-t^{\beta})$，其中 $0 < \beta \leq 1$。

经过一系列变换，包括空间上按因子 $h$ 重新缩放以及按因子 $\frac{1}{h}$ 加速该纯更新过程，最终当 $h \to 0$ 且 $\kappa$ 固定时，得到：
$s^{\beta - 1} [s = \tilde{u}(\kappa, s) - 1] = i\kappa = \