4、微分同胚群诱导的黎曼度量及相关性质

微分同胚群诱导的黎曼度量及相关性质

1. 引言

在形状分析和计算解剖学中，微分同胚群的作用为我们研究嵌入空间的黎曼度量提供了重要的视角。通过微分同胚群在嵌入空间上的作用，我们可以诱导出嵌入空间的黎曼度量，从而为形状分析和计算解剖学的研究提供有力的工具。

2. 嵌入空间 Emb(M, Rd)

2.1 嵌入空间的定义

设 M 是一个无边界的紧致流形，我们将 M 到 Rd 的嵌入空间定义为：
Emb(M, Rd) = {q ∈ C∞(M, Rd) : q 是一个嵌入}
更精确地说，一个嵌入 q 是一个浸入（对于所有 x ∈ M，Txq 是单射），并且是到其像的同胚。它是浸入空间 Imm(M, Rd) 的一个开子集，因此也是 C∞(M, Rd) 的开子集，所以它是一个 Fréchet 流形。

2.2 嵌入形状空间

嵌入的形状空间定义为：
Be(M, Rd) := Emb(M, Rd) / Diff(M)
它可以被看作是 Rd 中所有与 M 微分同胚的嵌入子流形的集合。关于其流形结构，有以下定理：
定理 4.1：商空间 Be(M, Rd) 是一个光滑的 Hausdorff 流形，并且投影
π : Emb(M, Rd) → Be(M, Rd)
是一个以 Diff(M) 为结构群的光滑主纤维丛。

当 dim M = d - 1 且 M 是可定向的时，我们可以围绕 π(q) ∈ Be(M, Rd)（q ∈ Emb(M, Rd)）定义一个坐标卡：
π ◦ ψq : C∞(M, (-ε, ε)) → Be(M, Rd)
其中