27、黎曼流形与协变导数基础解读

黎曼流形与协变导数基础解读

在数学领域中，黎曼流形以及相关的协变导数等概念是非常重要的。下面我们将深入探讨这些概念及其相关性质。

1. 流形与截面

设 (M = \mathbb{R}^n)，(U) 是 (M) 的一个开子集。此时，切丛 (TM = \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n)，并且 (M) 在 (U) 上的一个截面 (X) 是一个函数，满足 (X(p)=(p, v))，其中 (v\in\mathbb{R}^n)。换而言之，(X) 由一个函数 (f:U\rightarrow\mathbb{R}^n) 来定义。

2. 黎曼流形、度量与等距映射

2.1 黎曼度量与黎曼流形

切空间是向量空间，这使得我们能够将与配备欧几里得内积的向量空间相关的综合理论扩展到流形的切丛上。具体来说，我们要为流形 (M) 上每一点 (p\in M) 处的切空间 (T_pM) 赋予一个内积 (g_p)，并且要求这些内积随着 (p) 在 (M) 上的变化而平滑变化。

对于一个光滑的 (n) 维流形 (M)，(M)（或 (TM)）上的黎曼度量是一族内积 (T_pM\times T_pM\rightarrow\mathbb{R}:(v, w)\rightarrow g_p(v, w))，使得对于每一对向量场 (X_p, Y_p\in\Gamma(TM))，映射 (M\rightarrow\mathbb{R}:p\rightarrow g_p(X_p, Y_p)) 是光滑的。配备了黎曼度量的光滑流形 (M) 被称为黎曼流形。

切线向量 (v\in T_pM) 的范数定义为 (|v| p =