49、形状分析中的次黎曼方法

形状分析中的次黎曼方法

1. 引言

形状分析的主要关注点之一是研究、建模和量化形状变化，这在计算机视觉、医学研究、考古学等领域的各种数据集中都有体现。在进行形状分析时，恰当定义相关的形状空间并为其配备合适的度量至关重要，这样才能进行形状比较和定义合理的形状变换模式。目前已有众多相关方法被提出，包括使用黎曼度量处理点集、曲线和曲面的方法，共形和伪共形方法，以及基于中轴或球谐函数的技术等。

本文聚焦于受D’Arcy - Thompson的变换理论或Grenander的可变形模板工作启发的方法。在这些方法中，形状空间中的运动通过依赖时间的微分同胚变形从初始形状获得。在该框架下，需要控制作用于形状的变换，最好是控制其时间导数（即速度），通过最小化变换过程中累积的成本，从而自然地定义形状空间中的路径距离，这些距离可以是黎曼或次黎曼的。成本的定义方式多样，例如衡量速度场的平滑度以及与零的差异程度，还可以将速度表示为低维参数形式或施加一些约束条件。

接下来将从对速度场使用最少先验信息的情况，逐步讨论到设计和建模工作占主导的情况。

2. 形状空间、微分同胚群和形状运动

2.1 平面曲线空间

无限维形状空间最简单的例子或许是平面曲线空间。下面将以平面曲线为例，描述由微分同胚作用诱导的度量的主要构建成分，之后再介绍如何将该方法扩展到其他空间。

定义参数化形状（有时称为预形状）为单位圆$S^1$到$\mathbb{R}^2$的$C^r$嵌入。具体来说，$C^r$嵌入$m : S^1 \to \mathbb{R}^2$是一个一一的、$r$次连续可微的函数，且$m^{-1} : m(S^1) \to S^1$连续（其中