数据结构与算法-动态规划-数位dp（计数问题，度的数量，数字游戏，windy数，数字游戏2，不要62,恨7不成妻）

数位dp

数位 DP 是一种基于动态规划思想，专门用于解决与数字的各个数位相关问题的算法技巧。以下从其定义、适用场景、解题步骤等方面进行介绍：

定义：

数位 DP 通过对数字的每一位进行分析和处理，利用动态规划的方法来解决问题。它将数字看作是由一个个数位组成的序列，通过对这些数位上数字的取值和组合进行分析，从而解决与数字特征相关的计数、求和等问题。

常用技巧，一般都是让我们去求[l,r]区间上的满足某个要求的个数，我们通常是用前缀和的思想，f(x~y)=f(1~y) - f(1~x)

应用：

区间计数问题：例如，计算给定区间 [L, R] 内满足某种数位特征（如数字中不含 4 和 62）的整数个数。像在一个城市的车牌号码中，规定不能出现 4 和 62 这样的数字组合，要统计符合规定的车牌数量，就可使用数位 DP。

数位特征求和问题：比如，求区间 [1, N] 内所有数的各位数字之和。假设要统计从 1 到 10000 所有数字的各位数字之和，数位 DP 就能发挥作用。

数字排列组合问题：给定一些数位的限制条件，计算满足这些条件的数字排列组合方式。例如，规定一个数字的首位不能为 0，且相邻数位的差值不能超过 2，求满足条件的数字个数。

解题步骤：

确定状态：这是数位 DP 的关键。通常，状态会与当前处理的数位位置、前面数位的状态以及一些限制条件相关。例如，定义 dp[pos][state] 表示处理到第 pos 个数位时，前面数位形成的某种状态为 state 时的结果。这里的 state 可以是前面数位的和、是否出现过特定数字组合等。比如在计算不含 4 和 62 的数字个数时，state 可以是一个表示前面是否出现过 6 的布尔值，若出现过 6，后续数位不能为 2。

状态转移：根据问题的性质和数位的取值范围，确定如何从已有的状态推导出新的状态。比如，在处理下一位数字时，考虑当前位数字的取值对前面状态的影响，从而更新状态。假设当前处理到第 pos 位，若当前位数字为 i，且前面状态为 state，根据问题的规则，可能会转移到新的状态 new_state，那么 dp[pos][new_state] 就需要根据 dp[pos - 1][state] 进行更新。例如，在计算各位数字之和的问题中，dp[pos][sum] 可能会根据 dp[pos - 1][sum - i] 进行更新，其中 i 是当前位的数字。

边界条件：确定初始状态和边界情况。例如，当处理到最高位（即 pos 为 0）时，初始状态可能是一些特定的值，比如在计数问题中，初始状态可能为 1，表示空数字也算一种情况。又如，在计算各位数字之和的问题中，初始状态可能为 0。

记忆化搜索或递推：

记忆化搜索：通过递归的方式从高位到低位处理数字，在递归过程中，若遇到已经计算过的状态（即 dp[pos][state] 已经有值），直接返回该值，避免重复计算。例如，当计算到 dp[3][5] 时，如果之前已经计算过，就不再重新计算，直接返回结果。

递推：从低位到高位依次计算每个状态的值。先计算最低位的所有可能状态，然后根据状态转移方程，逐步计算更高位的状态。例如，先计算个位的各种状态，再根据个位的结果计算十位的状态，以此类推。

结果计算：根据题目要求，结合计算得到的状态值，得出最终的结果。例如，在区间计数问题中，可能需要将满足条件的所有状态值相加，得到区间内满足条件的数字个数。

引例（计数问题）：

分析：

问题描述这是一道颇具趣味的数字统计类题目。从解题的角度来看，由于数字范围可能较大，简单地逐个数字遍历并统计每个数位上的数字可能效率较低。可以考虑运用数位 DP（动态规划）的方法，通过对数字的数位进行分析和状态转移来高效地解决该问题。当然任务：统计 a和 b之间（包含 a和b）所有数字中 0-9每个数字的出现次数。例如  a=1024，b=1032，需统计这之间这 9 个数中 0-9 各自的出现次数。

这里可以实现一个函数count（n,x），求出1~n中，数字x出现的次数，那么a~b之间x出现的次数就是count（b,x）-count(a,x)

下面思考如何实现count（n,x）

假设一个数n是abcdefg,7位数，求出1在第4位的数的出现次数也就是xxx1xxx在（1，abcdefg）出现的次数，也就是 1<=xxx1xxx<=abcdefg,下面来分类讨论

--1:左边三位数abc

----1：如果x是0，取1~abc-1,右边三位数efg任意取数

----2：如果x不是0，取0~abc-1,右边三位数efg任意取数

--2:左边三位数为abc

----1：d>x,如果abc和x不同时为0，后面的xxx取0~999任意取数

----2：d==x,如果abc和x不同时为0，后面的xxx取0~efg

伪代码：

练习1（度的数量）：

分析：

这是一道基于数位特征进行计数的问题，可运用数位 DP(动态规划)方法求解，以下从问题描述、解题思路等方面介绍:

输入参数:给定区间 X,Y ，以及整数 k和 B。其中，X 和 Y 确定了数字的取值范围， 表示满足条件的数需由 K 个互不相等的 B的整数次幂相加得到，B 是幂运算的底数。

任务目标:统计在区间「X, Y]中，恰好能表示为 K 个互不相等的 B的整数次幂之和的整数个数。

示例说明:当X=15,Y=20，K=2,B=2时，17=2^4+2^0，18=2^4+2^1，20=2^4+2^2 这三个数满足条件，即区间内满足条件的整数个数为3。

举例：

所以这里的f[i][j]就是组合数，表示从i个数中选择j个数字的方案数

伪代码：

练习2（数字游戏）：

分析：

这是一道典型的数位统计计数问题，常运用数位动态规划（数位 DP）的方法来求解。以下从问题背景、核心要求、解题思路等方面进行介绍：

在科协的数字游戏情境中，定义了一种特殊的数字 —— 不降数。

不降数定义：从左到右各位数字呈非下降关系的数，例如 123（1≤2≤3）、446（4≤4≤6）等都是不降数。

任务目标：给定一个整数闭区间 [a, b]，要求统计出这个区间内不降数的个数。

我们还是先定义一下我们的dp[i],表示从0~i有多少个不降数

伪代码：

习题3（windy数）：

分析：

这是一道基于数字特征计数的问题，常借助数位动态规划（数位 DP）来解决，以下从问题定义、任务要求、解题思路等方面介绍：

Windy 数定义：Windy 定义了一种特殊的数，即不含前导零，并且相邻两个数字之差至少为 2 的正整数被称为 Windy 数。例如，135 是 Windy 数（1 和 3 差为 2，3 和 5 差为 2 ），而 123 不是（2 - 1 = 1＜2 ）。

给定两个数 A 和 B，要求统计在 A 和 B 之间（包含 A 和 B）总共有多少个 Windy 数。

伪代码：

习题4（数字游戏2）：

分析：

这是一道典型的数位统计类问题，通常可利用数位动态规划（数位 DP）的方法来求解。以

在科协流行数字游戏的情境下，定义了一种新的特殊数字类型 —— 取模数。定义：取模数是指满足各位数字之和对  N取模（即mod N  ）结果为 0 的数。例如，若N==3  ，数字12  是取模数，因为其各位数字之和1+2=3,3 mod 3 =0目标：给定一个整数闭区间  ，要求统计出这个区间内取模数的个数。

伪代码：

习题5（不要62）：

分析：

这是一道基于数字特征进行计数的问题，通常可借助数位动态规划（数位 DP）或简单的模拟枚举方法来解决。

在杭州，交通管理局扩充出租车牌照，因考虑到部分司机和乘客的心理因素，规定新牌照不再包含不吉利数字。

以杭州方言中对某些人的称呼 “62（音：laoer）” 为背景设定不吉利数字相关规则。

不吉利数字定义：所有含有数字 4 或数字组合 62 的号码为不吉利数字。例如，62315、73418、88914 都属于不吉利号码；而 61152 虽然含有 6 和 2，但并非连号，不属于不吉利数字。

给定一个牌照号区间  ，需要统计出该区间内吉利数字（即不含 4 和 62 的数字）的个数，以此推断交通局今后实际能给多少辆新出租车上牌。

还是和上面的题目一样，从高位向低位划分数字，因为更加的简单，所以直接看代码

伪代码：

f[i][j]表示一共i位，最高位为j，并且吉利的数字组合的个数

习题6（恨7不成妻）

分析：

这是一道结合数字特征判断与求和计算的问题，核心在于找出特定区间内满足条件的整数并计算其平方和

以吉哥单身且讨厌情人节引出，因情人节相关数字（214、77）与 7 有关联，从而使吉哥讨厌一切和 7 有关的数。

若一个整数符合以下三个条件之一，则称其和 7 有关：

整数中某一位是 7；

整数的每一位数字相加的和是 7 的整数倍；

这个整数是 7 的整数倍。

给定一个区间，要求找出该区间内和 7 无关的整数，并计算这些整数的平方和。

那么这里的预处理目标就是预处理出来f[i][j],一共i位，最高位为j的与7无关的数的个数

伪代码：

预处理出来f数组和10的n次方mod7的数组 和 10的n次方mod （1e9+7）的数组

其他dp部分

答案是dp(b)-dp(a-1)