（没学懂，待填坑）【动态规划】数位动态规划

zhouziyi0701

已于 2022-09-05 14:07:07 修改

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分类专栏：刷题笔记文章标签：动态规划算法

于 2022-09-03 23:03:41 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/gzkeylucky/article/details/126664804

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本文介绍了数位动态规划的概念，强调了记忆化、约束条件和高位前导0的重要性。提供了一些模板题和相关练习，如统计区间内数字的数位之和、数位出现次数，以及解决有限制条件的区间数位问题。通过具体例题解析，帮助理解数位DP的解题思路和应用。

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知识点

一个讲得很好的blog：洛谷日报第84期：数字组成的奥妙——数位dp

一 . 数位DP

数位DP是与数位相关的一类计数类DP，一般用于统计区间[l,r]满足特定条件的数位元素个数。数位指个位、十位、百位、千位等，数位DP指的就是在数位上进行动态规划。数位DP实质上就是有策略的枚举，子问题求解后进行记忆化搜索即可。

二 . 需要注意

① 记忆化 ②约束条件 ③高位前导0

三 . 数位DP模板

int dfs(int pos,int limit,int lead,int sum...各种限制)
//pos表示填数到了第几位,limit表示有无上界限制,lead表示有无前导0 
{
    if(!pos)    return sum;//边界条件 
    if(!limit&&!lead&&dp[pos][...]!=-1)//如果搜过并且没有上界限制和前导0,这一位可以随便填 
    return dp[pos][...];//记忆化搜索 
    int top=limit?a[pos]:9;
    //如果前一位有限制（或填到了最高位）那么这一位不能超过a这一位的大小，否则0~进制数-1随便取 
    int res=0; 
    for(int i=0;i<=top;i++)
    {
        if(...)//限制条件 
        res+=DFS(pos-1,limit&&(i==top),lead&&!i,...);
      //如果所在位置位已经枚举到上界就把上界往后传,上一位有前导0而且这一位是0，那么下一位有前导0 
    } 
    if(!limit&&!lead)dp[pos][...]=res;
        //因为如果枚举到上限则答案并不是这一位上所有的和，所以就不更新
	//着重分析这一句话：当有前导0或有上界限制时,下一位有不能填的数，而dp数组记录的是下一位能全部填0~9的数，所以不更新. 
    return res; 
}

int solve(int x)
{
    int num=0;//位数 
    while(x)//这里是预处理出每一位数的上界 
    {
        a[++num]=x%10;
        x=x/10;
    }
    return dfs(num,1,1,...);//是否有前导0和上界限制等，注意通常统计总和的时候，初始化为1 
} 
int main()
{
    cin>>l>>r;
    cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl;
    //可以先求1~r中满足限制的个数，再求1~l-1中满足限制的数的个数，相减即可得区间l~r的数据 
}