冲激响应和零状态响应

冲激响应和零状态响应是线性时不变（LTI）系统分析中的重要概念，它们的求解方法如下：

---

1. 冲激响应（Impulse Response）

定义：系统在初始状态为零时，对单位冲激信号 (\delta(t))（离散时为 (\delta[n])）的响应，记作 (h(t)) 或 (h[n])。

求解步骤：

（1）连续时间系统（微分方程）

若系统方程为：
[
\sum_{k=0}^N a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{m=0}^M b_m \frac{d^m x(t)}{dt^m}
]

• 方法一：特征方程法

  1. 令输入 (x(t) = \delta(t))，右边变为冲激及其导数的线性组合。
  2. 解齐次方程（特征方程）得到齐次解 (h_h(t))。
  3. 根据冲激激励的特点，确定初始条件（如 (t=0^+) 时刻的跳变），求出特解（通常为零）。
  4. 冲激响应形式：(h(t) = h_h(t)u(t))（因果系统）。

• 方法二：拉普拉斯变换

  1. 对微分方程取拉普拉斯变换（初始条件为零）。
  2. 求出传递函数 (H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)})。
  3. 逆变换得到 (h(t) = \mathcal{L}^{-1}{H(s)})。

（2）离散时间系统（差分方程）

若系统方程为：
[
\sum_{k=0}^N a_k y[n-k] = \sum_{m=0}^M b_m x[n-m]
]

• 方法一：递推法

  1. 输入 (x[n] = \delta[n])，递推求解 (h[n])。
  2. 注意初始条件 (h[-1] = h[-2] = \cdots = 0)。

• 方法二：Z变换

  1. 对差分方程取Z变换（初始条件为零）。
  2. 求出传递函数 (H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)})。
  3. 逆变换得到 (h[n] = \mathcal{Z}^{-1}{H(z)})。

---

2. 零状态响应（Zero-State Response）

定义：系统初始状态为零时，对任意输入信号 (x(t)) 或 (x[n]) 的响应。

求解方法：

• 卷积法（时域）：
  [
  y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau
  ]
  [
  y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]
  ]
  步骤：

  1. 先求冲激响应 (h(t)) 或 (h[n])。
  2. 计算输入与冲激响应的卷积。

• 变换域法：

  • 连续系统：用拉普拉斯变换 (Y(s) = H(s)X(s))，再逆变换。
  • 离散系统：用Z变换 (Y(z) = H(z)X(z))，再逆变换。

---

关键区别

• 冲激响应是零状态响应的特例（输入为 (\delta(t)) 或 (\delta[n])）。
• 零状态响应是任意输入下的输出，需通过冲激响应与输入信号的卷积（或变换域乘法）得到。

---

示例

连续系统：
微分方程 (\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t))

1. 求 (h(t))：
   • 齐次解 (h_h(t) = Ce^{-2t})，由冲激激励确定 (C=1)。
   • 故 (h(t) = e^{-2t}u(t))。
2. 零状态响应：
   • 若输入 (x(t) = u(t))，则 (y(t) = u(t) * e^{-2t}u(t) = \frac{1}{2}(1-e^{-2t})u(t))。

离散系统：
差分方程 (y[n] - 0.5y[n-1] = x[n])

1. 求 (h[n])：
   • 递推得 (h[n] = (0.5)^n u[n])。
2. 零状态响应：
   • 若输入 (x[n] = u[n])，则 (y[n] = u[n] * (0.5)^n u[n])。

---

通过以上方法，可以系统地求解冲激响应和零状态响应。对于复杂系统，变换域（拉普拉斯/Z变换）通常更高效。