中级微观经济学3

成本最小化

• 假如厂商在给定产出水平$y\ge 0$的前提下，以最小可能总成本生产，那么它是一个成本最小化的厂商
• $c(y)$表示生产$y$单位产出的厂商最小可能总成本
• $c(y)$为厂商的总成本函数

当厂商面对给定的投入要素价格$w=(w_1,w_2,\cdots ,w_n)$，总成本函数可以写成$c(w_1,w_2,\cdots ,w_n,y)$

• 假设厂商使用两种要素来生产一种产品
• 生产函数为：
  $$y=f(x_1,x_2)$$
• 产出水平$y\ge 0$给定
• 给定价格水平$w_1$和$w_2$，投入束$(x_1,x_2)$的成本为：$w_1{x}_1+w_2{x}_2$

成本最小化问题

对于给定的$w_1$，$w_2$和$y$，厂商成本最小化问题就是考虑如下方程：
$$\begin{gathered} \underset{x_1,x_2\ge 0}{\min }{w}_1{x}_1+w_2{x}_2 \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.f(x_1,x_2)=y \end{gathered}$$

• 在最小成本投入束中的要素投入量$x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)$和$x_2^{\ast }(w_1,w_2,y)$为厂商对于投入要素1和2的条件需求函数
• 生产$y$单位产出时的最小可能总成本为：
  $$c(w_1,w_2,y)=w_1{x}_1^{\ast }(w_1,w_2,y)+w_2{x}_2^{\ast }(w_1,w_2,y)$$

等成本线

• 一条包含成本为定值的所有投入束称为等成本曲线
• 一般地，给定$w_1,w_2$和$c$的等成本线方程为：
  $$w_1{x}_1+w_2{x}_2=c$$$$\Rightarrow x_2=-\frac{w_1}{w_2}{x}_1+\frac{c}{w_2}$$

等产量线

$$y=f(x_1,x_2)$$

成本最小化

一个内部成本最小化投入束满足：
$$(f(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=y)\wedge (TRS=-\frac{M{P}_1}{M{P}_2}=-\frac{w_1}{w_2}\text{ at }(x_1^{\ast },x_2^{\ast }))$$

Cobb-Douglas

考虑
$$y=f(x_1,x_2)=x_1^{\frac{1}{3}}{x}_2^{\frac{2}{3}}$$
投入要素的价格为$w_1$和$w_2$
生产$y$单位产出的最小化成本的投入束满足：
$$y=(x_1^{\ast }{)}^{\frac{1}{3}}(x_2^{\ast }{)}^{\frac{2}{3}}$$$$-\frac{w_1}{w_2}=-\frac{\frac{\partial y}{\partial x_1}}{\frac{\partial y}{\partial x_2}}$$$$\Rightarrow \frac{w_1}{w_2}=\frac{x_2^{\ast }}{2x_1^{\ast }}$$$$\Rightarrow (x_1^{\ast }(w_1,w_2,y),x_2^{\ast }(w_1,w_2,y))=\left(\right(\frac{w_2}{2w_1}{)}^{\frac{2}{3}}y,\left(\frac{2w_1}{w_2}{)}^{\frac{1}{3}}y\right)$$
则产出的总成本函数为：
$$c(w_1,w_2,y)=w_1{x}_1^{\ast }(w_1,w_2,y)+w_2{x}_2^{\ast }(w_1,w_2,y)=w_1(\frac{w_2}{2w_1}{)}^{\frac{2}{3}}y+w_2(\frac{2w_1}{w_2}{)}^{\frac{1}{3}}y$$$$\Rightarrow c(w_1,w_2,y)=3(\frac{w_1{w}_2^2}{4}{)}^{\frac{1}{3}}y$$

完全互补品

• 厂商的生产函数为：
  y = min ⁡ { 4 x 1 , x 2 } y=\min\{4x_1,x_2\} y=min{4x1​,x2​}
• 给定投入要素价格$w_1$和$w_2$
• 厂商对于要素1和2的条件需求为：
  $$x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)=\frac{y}{4},x_2^{\ast }(w_1,w_2,y)=y$$
• 厂商的总成本函数为：
  $$c(w_1,w_2,y)=w_1{x}_1^{\ast }(w_1,w_2,y)+w_2{x}_2^{\ast }(w_1,w_2,y)=w_1\frac{y}{4}+w_{2}y=(\frac{w_1}{4}+w_2)y$$

平均总成本

对于正的产出水平$y$，厂商生产$y$单位产出的平均总成本为：
$$AC(w_1,w_2,y)=\frac{c(w_1,w_2,y)}{y}$$

规模报酬与平均总成本

• 厂商技术的规模报酬决定着平均成本如何随着产出改变
• 厂商暂时生产$y$单位产出
  假设厂商生产$2y$单位产出

不变规模报酬与平均总成本

• 若厂商技术为不变规模报酬，则产出加倍时要求要素投入也加倍
• 总成本也加倍
• 平均总成本不变

递减的规模报酬与平均总成本

• 若厂商技术为递减的规模报酬，则产出加倍时要求技术要素投入量超过两倍
• 总成本增加超过一倍
• 平均生产成本上升

递增的规模报酬与平均总成本

• 若厂商技术为递增的规模报酬，则产出加倍时要求技术要素的增加量少于加倍量（假设投入要素比例不变）
• 总成本增加少于一倍
• 当允许投入要素比例可变时，总成本将被进一步降低
• 平均生产成本下降

短期与长期总成本

• 长期来看所有投入要素均可改变
• 假设厂商不能改变投入要素2的投入量$x_2^{\prime }$
  • 长期成本最小化问题：
    $$\begin{gathered} \underset{x_1,x_2\ge 0}{\min }{w}_1{x}_1+w_2{x}_2 \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.f(x_1,x_2)=y \end{gathered}$$
  • 短期成本最小化问题：
    $$\begin{gathered} \underset{x_1\ge 0}{\min }{w}_1{x}_1+w_2{x}_2^{\prime } \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.f(x_1,x_2^{\prime })=y \end{gathered}$$
• 短期成本最小化问题就是在约束条件$x_2=x_2^{\prime }$下的长期成本最小化问题
• 若长期对于$x_2$的选择为$x_2^{\prime }$，则$x_2=x_2^{\prime }$就不成为长期约束条件
• 因此，产出为$y$时的长期和短期总成本是一样的
• 若长期选择$x_2=x_2^{\prime \prime }$，那么约束条件$x_2=x_2^{\prime \prime }$使得厂商在短期无法将成本降至长期时的生产成本
• 因此，产出为$y$时的短期总成本超过长期总成本
• 除非短期投入水平约束是长期投入选择量，否则短期总成本超过长期总成本
• 短期总成本曲线总是与长期总成本曲线相切于一点，除此外则高于长期总成本曲线

成本曲线

成本曲线的类型

• 总成本曲线为厂商总成本函数的图像
• 可变成本曲线为厂商可变成本函数的图像
• 平均总成本曲线为厂商平均总成本函数的图像
• 平均可变成本曲线为厂商平均可变成本函数的图像
• 平均固定成本曲线为厂商固定成本函数的图像
• 边际成本函数为厂商边际成本函数的图像

固定、可变和总成本函数

• $F$表示厂商的短期固定投入的总成本，即厂商的固定成本，不随厂商的产出水平变化
• $c_v(y)$表示产出为$y$时的厂商可变要素投入的总成本，$c_v(y)$为厂商的可变成本函数
• $c_v(y)$取值依赖于固定投入水平
• $c(y)$表示产出为$y$时所有固定和可变要素投入总成本，即厂商的总成本函数
  $$c(y)=F+c_v(y)$$

平均固定、平均可变和平均总成本曲线

当$y>0$时，厂商的平均总成本函数为：
$$AC(y)=\frac{F}{y}+\frac{c_v(y)}{y}=AFC(y)+AVC(y)$$
平均固定成本曲线$AFC(y)=\frac{F}{y}$为等轴双曲线

• 在短期，至少有一种投入要素固定，边际收益递减使得厂商的平均可变成本最终上升
  $$AC(y)=ATC(y)=AFC(y)+AVC(y)$$
  由于短期可变成本$AVC(y)$最终上升，$ATC(y)$在短期内也会上升
  $$\underset{y\to \infty }{\lim }AFC(y)=0\Rightarrow \underset{y\to \infty }{\lim }ATC(y)=AVC(y)$$

边际成本函数

边际成本为可变产出成本与产出变化之比，也即
$$MC(y)=\frac{\partial c_v(y)}{\partial y}$$
$MC$同时为可变成本和总成本函数曲线的斜率
$$MC(y)=\frac{\partial c_v(y)}{\partial y}=\frac{\partial c(y)}{\partial y}$$

边际与可变成本函数

由于$MC(y)$为$c_v(y)$的导数，$c_v(y)$必定是$MC(y)$的积分函数，即
$$MC(y)=\frac{\partial c_v(y)}{\partial y}$$$$\Rightarrow c_v(y)={\int }_0^{y}MC(z)\mathrm{d}z$$

边际与平均成本函数

由于$AVC(y)=\frac{c_v(y)}{y}$，
$$\frac{\partial AVC(y)}{\partial y}=\frac{y\cdot MC(y)-1\cdot c_v(y)}{y^2}$$
因此
$$y\cdot MC(y)\mathrm{R}{c}_v(y)\Rightarrow \frac{\partial AVC(y)}{\partial y}\mathrm{R}0$$$$MC(y)\mathrm{R}\frac{c_v(y)}{y}\Rightarrow \frac{\partial AVC(y)}{\partial y}\mathrm{R}0$$$$MC(y)\mathrm{R}AVC(y)\Rightarrow \frac{\partial AVC(y)}{\partial y}\mathrm{R}0$$
短期$MC$曲线与短期$AVC$曲线相交于$AVC$的最低点
类似地，由于$ATC(y)=\frac{c(y)}{y}$，
$$\frac{\partial ATC(y)}{\partial y}=\frac{y\cdot MC(y)-1\cdot c(y)}{y^2}$$
因此
$$y\cdot MC(y)\mathrm{R}c(y)\Rightarrow \frac{\partial ATC(y)}{\partial y}\mathrm{R}0$$$$MC(y)\mathrm{R}\frac{c(y)}{y}\Rightarrow \frac{\partial ATC(y)}{\partial y}\mathrm{R}0$$$$MC(y)\mathrm{R}ATC(y)\Rightarrow \frac{\partial ATC(y)}{\partial y}\mathrm{R}0$$
类似地，短期$MC$曲线与短期$ATC$曲线相交于$ATC$的最低点

$MC$与$AVC$的起点相同
$$MC(0)=AVC(0)$$

短期与长期总成本曲线

• 厂商对于不同的短期环境有不同的短期总成本曲线
• 假设厂商可能出于以下三种可能状态$(x_2^{\prime }<x_2^{\prime \prime }<x_2^{\prime \prime \prime })$：
  • $x_2=x_2^{\prime }$
  • $x_2=x_2^{\prime \prime }$
  • $x_2=x_2^{\prime \prime \prime }$

则有三个短期总成本曲线
$$c_s(y;x_2^{\prime }),c_s(y;x_2^{\prime \prime }),c_s(y;x_2^{\prime \prime \prime })$$
$M{P}_1$为要素1的边际生产力，因此增加一份要素1的投入会增加$M{P}_1$单位的额外产出
因此1单位额外产出所需增加的要素1的投入量为：$\frac{1}{M{P}_1}$
要素1的单价为$w_1$，因此厂商的多生产1单位产出的额外成本为：
$$MC=\frac{w_1}{M{P}_1}$$
也即厂商总成本曲线的斜率
要素2与要素1同为互补品，$M{P}_1$随着$x_2$增加而增加，因此$MC$随着$x_2$增加而减少
也即，短期总成本曲线初始值更高，其斜率随着$x_2$增加而下降
在长期，厂商可以任意选择这三种成本曲线
令$c_s(y^{\prime };x_2^{\prime })=c_s(y^{\prime };x_2^{\prime \prime }),c_s(y^{\prime \prime };x_2^{\prime \prime })=c_s(y^{\prime \prime };x_2^{\prime \prime \prime })$

• 当$0\le y\le y^{\prime }$时，$c_s(y;x_2^{\prime \prime \prime }),c_s(y;x_2^{\prime \prime })>c_s(y;x_2^{\prime })$，故选择$x_2=x_2^{\prime }$
• 当$y^{\prime }\le y\le y^{\prime \prime }$时，$c_s(y;x_2^{\prime }),c_s(y;x_2^{\prime \prime \prime })>c_s(y;x_2^{\prime \prime })$，故选择$x_2=x_2^{\prime \prime }$
• 当$y\ge y^{\prime \prime }$时，$c_s(y;x_2^{\prime }),c_s(y;x_2^{\prime \prime })>c_s(y;x_2^{\prime \prime \prime })$，故选择$x_2=x_2^{\prime \prime \prime }$

厂商的长期总成本曲线由所有短期总成本曲线的最低点构成
长期总成本曲线为短期总成本曲线的包络线

短期与长期平均总成本曲线

• 对于任意的产出水平$y$，长期总成本曲线总是给出了最低可能总生产成本
• 因此，长期平均总成本曲线也给出了最小可能平均总生产成本
• 长期平均总成本曲线必须为厂商所有短期平均总成本曲线的下包络线
• 厂商的长期平均总成本曲线为短期平均总成本曲线的包络线

短期与长期边际成本曲线

• 对于任意的产出水平$y>0$，长期边际成本即为短期边际成本
• 对于任意的产出水平$y>0$，长期边际成本即为最优规模（即最优不变生产要素量）下的短期边际成本

厂商供给

影响因素：

• 技术
• 市场环境
• 目标
• 竞争者行为

市场环境

• 垄断：仅有一家决定着供给量和市场出清价格的卖者
• 寡头：几个厂商，每个厂商的决策影响到其它厂商的收益
• 主导厂商：许多厂商，但是有一家比其它厂商大很多；大厂商的决策影响到其它小厂商的收益；小厂商的决策对其它厂商基本没有影响
• 垄断竞争：很多厂商，每家厂商制造的产品稍有差异；每家厂商的产出水平相对于市场需求量来说都很小
• 完全竞争：许多厂商都制造相同的产品；每家厂商的产出水平相对于整个市场来说都很小

完全竞争

• 完全竞争厂商知道它对市场价格没有影响，它是市场价格接受者
• 厂商可以任意确定产品的价格
  • 假如厂商把价格定在市场价格之上，那么厂商的需求量为0
  • 假如厂商把价格定在市场价格之下，那么它的需求量为整个市场的需求量

考虑单个厂商的需求曲线
设市场供给$S^m(p)$与市场需求$D^m(p)$的均衡价格为$p^e$

• 当价格为$p=p^{\prime }>p^e$时，厂商需求为0
• 当价格为$p=p^e$时，厂商需求为$[0,y(p^e)]$
• 当价格为$p=p^{\prime \prime }<p^e$时，厂商需求为$D^m(p)$，即整个市场的需求量

微小

单个厂商的技术约束使得它仅能生产整个市场需求量的一小部分

厂商的短期供给决策

每个厂商在短期都是利润最大化者
产出水平考虑如下：
$$\underset{y\ge 0}{\max }{\Pi }_s(y)=py-c_s(y)$$
解得$y=y^{\ast }$

当$y_s^{\ast }>0$时，满足：
$$\frac{\mathrm{d}{\Pi }_s(y)}{\mathrm{d}y}=p-M{C}_s(y)=0$$$$\frac{{\mathrm{d}}^2{\Pi }_s(y)}{\mathrm{d}{y}^2}<0$$
即一阶利润最大化条件为$p=M{C}_s(y_s^{\ast })$
若利润最大化时$y_s^{\ast }>0$，市场价格$p$与产出$y=y_s^{\ast }$时的边际成本相等
二阶条件为$\frac{\mathrm{d}M{C}_s(y_s^{\ast })}{\mathrm{d}y}>0$
若利润最大化时$y_s^{\ast }>0$，则厂商的边际成本曲线必须向上倾斜
因此利润最大化供给水平必须在边际成本曲线向上倾斜的那一侧

当$y_s^{\ast }=0$时，满足：
$$\frac{\mathrm{d}{\Pi }_s(y)}{\mathrm{d}y}=p-M{C}_s(y)\le 0$$
考虑厂商的利润函数
$${\Pi }_s(y)=py-c_s(y)=py-F-c_v(y)$$
令$y=0$，则它的利润为：
$${\Pi }_s(y)=0-F-c_v(0)=-F$$
因此厂商会选择一个产出水平$y>0$，仅当它满足：
$${\Pi }_s(y)=py-F-c_v(y)\ge -F$$$$\Rightarrow p\ge \frac{c_v(y)}{y}=AV{C}_s(y)$$$$p>AV{C}_s(y)\Rightarrow y_s^{\ast }>0$$$$p<AV{C}_s(y)\Rightarrow y_s^{\ast }=0$$
$y_s^{\ast }=0$即停产点

• 停产点并不表示退出
• 停产点意味着产出为0（但厂商依然在市场中且担负着固定成本）
• 退出意味着离开这个行业，厂商只有在长期时才可以做这样的决策
• 长期是指厂商可以在所有的短期环境中进行决策

厂商的长期供给决策

• 竞争性厂商的长期利润函数为：
  $$\Pi (y)=py-c(y)$$
• 生产$y$单位产出的长期成本$c(y)$仅由可变成本构成，因为所有的要素在长期都是可变的

则
$$\underset{y\ge 0}{\max }{\Pi }_s(y)=py-c(y)$$
当$y^{\ast }>0$时，最大化的一阶和二阶条件为：
$$p=MC(y)$$$$\frac{\mathrm{d}MC(y)}{\mathrm{d}y}>0$$
另外，厂商的经济利润不能为负，如果为负厂商将退出这个市场，因此
$$\Pi (y)=py-c(y)\ge 0\Rightarrow p\ge \frac{c(y)}{y}=AC(y)$$

生产者剩余

厂商的生产者剩余是每单位产出的额外收入减去其生产成本的累加和
厂商的生产者剩余为：
$$PS(p)={\int }_0^{y^{\ast }(p)}[p-M{C}_s(z)]\mathrm{d}z=p{y}^{\ast }(p)-{\int }_0^{y^{\ast }(p)}M{C}_s(z)\mathrm{d}z=p{y}^{\ast }(p)-c_v(y^{\ast }(p))$$

• 生产者剩余=收益-可变成本
• 利润=收益-总成本=收益-固定成本-可变成本
• 生产者剩余=利润+固定成本
• 仅当固定成本为0时（长期）的生产者剩余与利润相等

行业供给

竞争性行业的供给

由于每个厂商都是价格接受者，在给定价格水平下的总行业供给为在该价格下所有单个厂商供给的总和

短期供给

• 在短期，行业中厂商数量是固定的
• $n$表示厂商的数量
• $S_i(p)$为第$i$个厂商的供给函数，$i=1,2,\cdots ,n$
• 行业的短期供给函数为：
  $$S(p)=\sum _{i=1}^n{S}_i(p)$$

短期行业均衡

• 在短期既没有厂商进入也没有厂商退出
• 因此在短期均衡中，一些厂商可能获得正的经济利润，而其它厂商可能面临着损失，有些厂商可能获得的经济利润为0
• 短期均衡价格使得行业出清且被每家厂商接受

长期行业供给

• 正的经济利润会导致其它厂商进入
• 当行业价格$p_s^e$比厂商的最小平均总成本高时，经济利润为正
  $$p_s^e>\min AC(y)$$
• 其它厂商进入会导致行业供给增加，以及$p_s^e$下降
• 行业长期的厂商数目为能使行业价格至少与最小$AC(y)$一样大的最大厂商数目
• 行业需求增加会导致行业中的厂商数目上升
• 从连续的短期行业供给曲线每一次描绘一段，如此反复就可以得到行业的长期供给曲线
• 当每个厂商相对于整个行业变得更小时，长期行业供给曲线趋向于一条高度为最小$AC(y)$的水平线

长期均衡行业价格

当行业处于长期均衡时，行业价格仅由长期最小平均生产成本决定
长期行业价格为：
$$p^e=\underset{y>0}{\min }AC(y)$$

长期均衡的税收

• 在短期均衡中，税收负担由买者和卖者共同负担，税收分配由自身价格的供给与需求弹性决定
• 在长期均衡中，买者支付了所有的税收

固定投入与经济租金

经济租金是指对一项投入的支付额超过行业提供该要素的最小支付额的部分
$F$为获取固定投入而支付给所有者的价格；$F$=经济租金

碳税与限额交易

$x_i$：企业的减排量；$T$：总减排目标；$c_i(x_i)$：企业$i$减排量为$x_i$的成本
FB(First, 社会最优)：
$$\min c_1(x_1)+c_2(x_2)$$$$\mathrm{s}.\mathrm{t}.x_1+x_2=T$$$$\Rightarrow (M{C}_1(x_1^{\ast })=M{C}_2(x_2^{\ast }))\wedge (x_1^{\ast }+x_2^{\ast }=T)$$
通过碳税达到FB：
假设两企业起始排放量为${\overline{x}}_1$和${\overline{x}}_2$，政府对企业排污收税率为$t$的从量税，企业1的减排费用为：$c_1(x_1)+t({\overline{x}}_1-x_1)$，则$t=M{C}_1(x_1)$；同理$t=M{C}_2(x_2)$，故
$$(t=t^{\ast }=M{C}_1(x_1^{\ast })=M{C}_2(x_2^{\ast }))\wedge (x_1^{\ast }+x_2^{\ast }=T)$$

成本不变产业（constant-cost industries）

With constant costs, the long-run response to an increase in demand re-establishes the original price.

成本递增产业（increasing-cost industries）

With increasing costs, the long-run responses results in a higher price.

成本递减产业（decreasing-cost industries）

With decreasing costs, the long-run responses results in a lower price.

效益-成本分析

CS，PS，DWL

垄断

• 只有一个卖者
• 垄断厂商的需求函数即为整个市场的需求函数（向下倾斜）
• 垄断厂商可以通过改变它产出水平来改变市场价格

垄断的来源

• 法律审批
• 专利
• 资源的单一所有权
• 卡特尔组织
• 规模的经济性

完全垄断

利润最大化

假设垄断厂商寻求最大化它的经济利润，最大化利润产出水平$y=y^{\ast }$满足：
$$\Pi (y)=p(y)y-c(y)$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\Pi (y)}{\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(p(y)y)-\frac{\mathrm{d}c(y)}{\mathrm{d}y}=0$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(p(y)y)=\frac{\mathrm{d}c(y)}{\mathrm{d}y}$$

边际收益

边际收益为收益变化与产出变化之比
$$MR(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(p(y)y)=p(y)+y\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}$$
$\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}$为市场反需求函数的斜率，因此$\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}<0$，从而对于$y>0$，有：
$$MR(y)=p(y)+y\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}<p(y)$$

边际成本

边际成本为总成本变化与产出水平变化之比
$$MC(y)=\frac{\mathrm{d}c(y)}{\mathrm{d}y}$$
例如$(c(y)=F+\alpha y+\beta y^2)\wedge (p(y)=a-by)$，那么$MC(y)=\alpha +2\beta y=MR(y)=a-2by$，则
$$(p(y^{\ast }),y^{\ast })=(a-b\frac{a-\alpha }{2(b+\beta )},\frac{a-\alpha }{2(b+\beta )})$$

垄断定价与自身价格需求弹性

假设市场需求对市场价格变化不敏感
即，自身需求价格弹性的绝对值小于1
$$MR(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(p(y)y)=p(y)+y\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}$$$$\Rightarrow MR(y)=p(y)[1+\frac{y}{p(y)}\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}]=p(y)[1+\frac{1}{ϵ}]$$
假设垄断厂商的边际成本为常数k，对于利润最大化
$$MR(y^{\ast })=p(y^{\ast })[1+\frac{1}{ϵ}]=k$$$$\Rightarrow p(y^{\ast })=\frac{k}{1+\frac{1}{ϵ}}$$
注意到$p(y^{\ast })[1+\frac{1}{ϵ}]>0$，则$1+\frac{1}{ϵ}>0$，即$ϵ<-1$
因此利润最大化的垄断厂商，总是选择一个产出水平，在该产出水平下市场需求富于弹性

成本加成定价

成本加成定价：产出价格为边际生产成本加一个“收益加成”
易知
$$p(y^{\ast })=\frac{k}{1+\frac{1}{ϵ}}\Rightarrow p(y^{\ast })=\frac{kϵ}{1+ϵ}$$
为垄断厂商的价格，加成量为：
$$p(y^{\ast })-k=\frac{kϵ}{1+ϵ}-k=-\frac{k}{1+ϵ}$$
加成量随着自身需求的价格弹性绝对值的上升而下降

对垄断厂商的利润征税

税率为$t$的利润税使得垄断厂商的利润从$\Pi (y^{\ast })$减至$(1-t)\Pi (y^{\ast })$
由计算易知利润税对于垄断厂商的产出水平、产出价格和投入要素的需求没有影响
因此利润税为中性税收

对垄断厂商的产出数量征税

• 税率为t的数量税使得边际成本上升t
• 因此税收会降低利润最大化的产出水平，导致市场价格上升，投入要素需求下降
• 对垄断厂商的产出数量征税对市场因素构成了扭曲
  假设边际成本为k
  无税时，垄断厂商价格为：
  $$p(y^{\ast })=\frac{kϵ}{1+ϵ}$$
  税后，
  $$p(y^t)=\frac{(k+t)ϵ}{1+ϵ}$$
  购买者支付的税收部分为：
  $$p(y^t)-p(y^{\ast })=\frac{tϵ}{1+ϵ}$$
  即，税收转嫁给消费者的部分
  由$ϵ<-1$得$\frac{ϵ}{1+ϵ}>1$，因此垄断厂商转嫁给消费者的部分超过了税收额

垄断的无效率

假如市场达到了最大的所有可能通过交易获得的效用，那么这个市场是帕累托有效率的
垄断厂商的产出低于市场有效率时的数量，使得市场价格高于是有效率时的市场价格

自然垄断

• 当市场中厂商的技术的规模效益达到与多于一个厂商相比，能以更低的平均成本来供应整个市场的需求时，自然垄断就产生了
• 最低有效规模——相对于需求的规模，使平均成本实现最小化的产量水平
• 最低有效规模相对于需求足够大就会产生自然垄断
• 自然垄断厂商通过对潜在进入者实施掠夺性定价威胁来阻止其进入市场
• 掠夺性定价是指由已在市场中的厂商发现潜在市场进入者时，通过定一个低的价格来使进入者的经济利润为负，从而使其退出市场的做法

自然垄断的无效率

和任何利润最大化垄断厂商一样，自然垄断厂商也造成了无谓损失
利润最大化：$MR(y)=MC(y)$
效率（总福利最大）：$p=MC(y)$

对自然垄断的管制

在有效率的产出水平$y^e$，$ATC(y^e)>p(y^e)$
因此厂商遭受了经济损失

• 不能强迫垄断厂商使用边际成本定价，这样会使厂商退出
• 一般解决方案:
  • AC pricing
  • MC pricing + Subsidy

什么造成垄断

• 最低有效规模大小——相对于需求的规模，使平均成本实现最小化的产量水平
  • 自然垄断（需要降价威胁）
  • 自然垄断（无需降价威胁）
    1个企业：$MC=MR\Rightarrow {\pi }_1=(p_1-A{C}_1)y_1>0$
    2个企业：$MC=M{R}^{\prime }\Rightarrow {\pi }_2=(p_2-A{C}_2)y_2<0$
• 串谋限制产量（卡特尔）

垄断行为

垄断厂商如何定价

到目前为止都假设垄断厂商对每一个消费者以相同的价格出售商品，这称为单一定价

价格歧视

• 一级价格歧视：每个产品都以不同的价格出售；对不同的消费者可能价格不同
• 二级价格歧视：价格会依据消费者的购买数量而不同；但对所有的消费者都使用相同的价格目录
• 三级价格歧视：处于一个给定群体的消费者支付的价格是一样的，但是不同的群体的消费者支付的价格不一样

一级价格歧视

• 每件产品都以不同的价格出售，不同的消费者支付的价格不一样
• 它要求垄断厂商能够发现对其产品有最高估值的购买者，有第二高估值的购买者等
  垄断厂商从交易中得到了最大可能受益
  一级价格歧视是帕累托有效率的
  一级价格歧视使得垄断厂商获得了所有可能通过交易所得效益，而消费者剩余为0；垄断厂商供给的产出量是有效率的

Second-degree Price Discrimination

• Non-linear pricing
  • Unit price depends on quantity purchased
  • Bulk discount
• Setting
  • A seller does not know the willingness to pay by each individual buyer
  • Consumer’s marginal willingness to pay declines with quantity
• $2^{nd}$-degree discrimination can also occur in the dimension of quality

三级价格歧视

垄断厂商通过改变产品的供给量来操控市场价格
两个市场，1和2
$y_1$表示市场1的产品供给量，市场1的反需求函数为$p_1(y_1)$
$y_2$表示市场2的产品供给量，市场2的反需求函数为$p_2(y_2)$
对于给定的供给水平$y_1$和$y_2$，厂商的利润为：
$$\Pi (y_1,y_2)=p_1(y_1)y_1+p_2(y_2)y_2-c(y_1+y_2)$$
利润最大化条件为：
$$(\frac{\partial }{\partial y_1}(p_1(y_1)y_1)=\frac{\partial c(y_1+y_2)}{\partial (y_1+y_2)})\wedge (\frac{\partial }{\partial y_2}(p_2(y_2)y_2)=\frac{\partial c(y_1+y_2)}{\partial (y_1+y_2)})$$$$\Rightarrow \frac{\partial }{\partial y_1}(p_1(y_1)y_1)=\frac{\partial }{\partial y_2}(p_2(y_2)y_2)=\frac{\partial c(y_1+y_2)}{\partial (y_1+y_2)}$$
当$M{R}_1(y_1)=M{R}_2(y_2)$时，表明在这两个市场的产出分配$y_1$，$y_2$最大化了销售$y_1+y_2$单位产出的收益
考虑
$$M{R}_1(y_1^{\ast })=M{R}_2(y_2^{\ast })=MC(y_1^{\ast }+y_2^{\ast })$$$$\Rightarrow p_1(y_1^{\ast })[1+\frac{1}{{ϵ}_1}]=p_2(y_2^{\ast })[1+\frac{1}{{ϵ}_2}]$$
因此，$p_1(y_1^{\ast })>p_2(y_2^{\ast })$当且仅当$1+\frac{1}{{ϵ}_1}<1+\frac{1}{{ϵ}_2}$，即${ϵ}_1>{ϵ}_2$
垄断厂商在市场需求弹性的绝对值小的市场设定高的产品价格

双重收费

双重收费是一次性收费$p_1$，加上对每单位产品加收一个价格$p_2$
购买$x$单位产品的成本为：$p_1+p_{2}x$
当垄断厂商将每单位价格$p_2$设为其边际成本，将一次性收费$p_1$设为消费者剩余时，垄断厂商利用双重收费时最大化它的利润
双重收费的利润最大化是一个有效率的市场结果，此时垄断厂商获得利润为所有通过交易所得利润

差异化产品

• 在许多市场，交易的产品十分相近但不是完全互补品
• 每个厂商因此有一点垄断力量
• 垄断竞争市场
• 自由进入$\Rightarrow$每个销售者零利润，价格=平均成本
• 利润最大化$\Rightarrow$每个厂商都有$MR=MC$
• 商品之间不是完全替代品$\Rightarrow$每种商品的需求曲线都稍微向下倾斜
• 每个厂商的供给量都低于该产品的有效率的数量
• 同时，每个厂商的供给量都小于最小化平均成本的数量，因此每个厂商都有多余的供给能力